Статистичні оцінки параметрів розподілу

Нехай з генеральної сукупності з функцією розподілу , де – невідомий параметр, здійснено вибірку (9.1) об’єму п. Задача оцінки невідомого параметра зводиться до знаходження таких вибіркових функцій (статистик) , які можна розглядати як оцінку .

Основними властивостями, які повинні мати статистичні оцінки, є властивості незміщеності, ефективності та спроможності.

Статистичну оцінку невідомого параметра називають незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру , тобто М ()= . Якщо ця умова не виконується, оцінка називається зміщеною.

Статистична оцінка параметра називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед всіх можливих оцінок параметра , обчислених по вибірках одного і того ж об’єму.

При розгляді вибірок великого об’єму статистичні оцінки мають задовольняти умову спроможності .

Розрізняють точковіта інтервальні оцінки параметрів розподілу.

Точковою називають таку оцінку невідомого параметра, яка визначається одним числом. Інтервальною оцінкою називають таку оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу, відносно якого з наперед заданою точністю можна сказати, що оцінюваний параметр знаходиться всередині заданого інтервалу.

 

Точкові оцінки математичного сподівання та дисперсії

Для побудови точкових оцінок математичного сподівання і дисперсії генеральної сукупності Х (генеральної середньої і генеральної дисперсії) використовують відповідні вибіркові характеристики:

вибіркову середню ;

вибіркову дисперсію ;

вибіркове середнє квадратичне відхилення

За оцінкугенеральної середньоїприймають вибіркову середню. Ця оцінка буде незміщеною, ефективною та спроможною.

Вибіркова дисперсія буде зміщеною та спроможною оцінкою. Виправлена дисперсія є незміщеноюоцінкою генеральної дисперсії.

За оцінкусереднього квадратичного відхиленнягенеральної сукупності приймають виправлене середнє квадратичне відхилення

.

Така оцінка є зміщеною.

На практиці виправленою дисперсією користуються при n <30.

 

Опитування з теорії

1.Що називається генеральною сукупністю? вибіркою?

2. Що називається варіантами? варіаційним рядом? розмахом вибірки?

3. Що називається частотою, відносною частотою варіант вибірки?

4. Що називаєтьсястатистичним розподілом вибірки?

5. Що являють собою полігон частот, гістограма відносних частот вибірки?

6. Яка функція називається емпіричною функцією розподілу?

7. Що розуміють під статистичною оцінкою параметра розподілу?

8. Яка статистична оцінка називається незміщеною? ефективною? спроможною?

9. Яка статистична оцінка називається точковою?

10. Навести формули для обчислення точкових оцінок математичного сподівання, дисперсії, середнього квадратичного відхилення.

 

Задача 1. Вибірка задана у вигляді ряду розподілу частот

Знайти розподіл відносних частот.

Розв’язання. Знайдемо об’єм вибірки . Знайдемо відносні частоти .

Запишемо статистичний ряд розподілу відносних частот

	0,3	0,4	0,2	0,1

Перевірка: 0,3+0,4+0,2+0,1=1.

Задача 2. Вибірка об’єму задана у вигляді розподілу відносних частот

	0,1	0,4	0,2	0,1	0,2

Записати статистичний ряд розподілу частот.

Розв’язання. Знайдемо частоти, що відповідають відносним частотам

Запишемо статистичний ряд розподілу частот

Задача 3. Вибірка задана у вигляді розподілу частот

	-1

Знайти емпіричну функцію розподілу.

Розв’язання. Знайдемо об’єм вибірки . За означенням емпірична функція F ^*(x) дорівнює числу варіант що попадають в інтервал , поділених на об’єм вибірки. Найменша варіанта , тому при . При маємо , оскільки значення спостерігалось 4 рази. При маємо , оскільки варіанта з цього інтервалу спостерігалась 8 раз. Якщо , то варіанта з цього інтервалу значень спостерігалась 6 раз. Тому , оскільки ми додаємо частоти варіант з попередніх інтервалів. Для маємо , оскільки найбільша варіанта спостерігалась 2 рази. Будуємо графік емпіричної функції розподілу:

 

Задача 4. Побудувати полігон частот та полігон відносних частот за даним розподілом вибірки.

	-2	-1

Розв’язання. Відкладемо на осі абсцис варіанти , а на осі ординат відповідні їм частоти . Сполучимо точки з координатами (; ) ламаною лінією і отримаємо полігон частот (див. рис 6).

Тепер побудуємо полігон відносних частот. Для цього відкладемо на осі абсцис варіанти , на осі ординат відносні частоти і сполучаємо точки з координатами (;w _і) ламаною лінією. Дістанемо полігон відносних частот (див. рис 7).

 

 

 

 

 

Задача 5. Побудувати гістограму відносних частот інтервального ряду

 

Інтервали	[-2;-1)	[-1; 0)	[0; 1)	[1; 2)	[2; 3)

 

Розв’язання. Знайдемо об’єм вибірки . Для побудови гістограми частот відкладемо по осі абсцис інтервали довжини . На і -тому інтервалі побудуємо прямокутник висоти (щільність відносної частоти). Розрахунки щільності відносних частот зведемо в таблицю:

Інтервал	[-2;-1)	[-1; 0)	[0; 1)	[1; 2)	[2; 3)
	0,1	0,2	0,3	0,25	0,15

Зробимо рисунок гістограми відносних частот

Задача 6. Записати вибірку 0, 2, 8, 3, 6, 0, 0, 8, 7, 3, 2, 0, 3, 6, 2 у вигляді: а) варіаційного ряду; б) статистичного ряду частот і відносних частот. Знайти розмах вибірки.

Розв’язання. а) Варіаційний ряд: 0,0,0,0,2,2,2,3,3,6,6,7,8,8.

б) Статистичний ряд частот і відносних частот (об’єм вибірки

Розмах вибірки .

Задача 7. Використовуючи статистичний ряд розподілу, отриманий у попередній задачі, побудувати гістограму відносних частот, розбивши діапазон значень на інтервали довжини .

Розв’язання. Занесемо дані в таблицю

Інтервал	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
		3+2=5		2+1=3
	0,14	0,17		0,1	0,07

Для побудови гістограми відкладемо по осі абсцис інтервали довжини . На і- тому інтервалі побудуємо прямокутник висоти .

 

Задача 8. Обчислити незміщені оцінки математичного

сподівання та дисперсії вибірки

Розв’язання. Об’єм вибірки . Незміщеною оцінкою математичного сподівання є вибіркова середня

.

Оскільки , то виправлена і вибіркова дисперсії мало відрізняються .

Задача 9. В результаті п’яти вимірювань деякої фізичної величини одним приладом отримані такі результати: . Знайти: а) вибіркову середню результатів вимірювань; б) вибіркову і виправлену дисперсії похибок вимірювання; в) вибіркове та виправлене середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. а) Знайдемо вибіркову середню .

б)Знайдемо вибіркову дисперсію .

Знайдемо виправлену дисперсію , використовуючи, що ; .

в) Знайдемо вибіркове та виправлене середнє квадратичне відхилення:

; .

Задача 10. За вибіркою об’єму знайдена зміщена оцінка генеральної дисперсії . Знайти незміщену оцінку генеральної дисперсії

Розв’язання. Шукана незміщена оцінка генеральної дисперсії дорівнює виправленій дисперсії .

Задача 11. Результати вимірювання зросту (в см) випадково відібраних 50 підлітків наведені в таблиці

зріст	152-156	156-160	160-164	164-168	168-172	172-176	176-180

Знайти вибіркову середню і незміщену вибіркову дисперсію зросту обстежених підлітків, прийнявши за варіанти середини інтервалів.

Розв’язання. Запишемо ряд розподілу у вигляді таблиці

 

Знаходимо вибіркову середню

і незміщену вибіркову дисперсію зросту обстежених студентів =

.

Задача 12. Знайти вибіркову середню, вибіркову дисперсію та вибіркове середнє квадратичне відхилення для вибірки, заданої розподілом частот (Вказівка. Перейти до умовних варіант вигляду –сталі)).

	100,1	100,2	100,3	100,4

Розв’язання. Перейдемо до умовних варіант . Складемо таблицю їх розподілу

 

 

; ; . . ; .

Вибіркове середнє квадратичне відхилення .

 

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

 

1. Вибірка задана у вигляді ряду розподілу частот:

	-4	-2

Знайти розподіл відносних частот.

Відповідь:

	-4	-2
	0,3	0,4	0,1	0,2

 

2. Вибірка об’єму задана у вигляді розподілу відносних частот

	-1
	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2

Записати статистичний ряд розподілу частот.

Відповідь:

	-1

3. Вибірка задана у вигляді ряду розподілу частот

	-3	-1

Знайти емпіричну функцію розподілу.

Відповідь: .

4. Побудувати полігон частот та полігон відносних частот за даним розподілом вибірки.

	-3	-1

5. Побудувати гістограму відносних частот інтервального ряду

Інтервал	[-2; 0)	[0; 2)	[2; 4)	[4;6)

6. Записати вибірку -3, -1, 5, 0, 3, -3, -3, 5, 1, 0, -1, 0, 0, 6, 2 у вигляді:

а) варіаційного ряду; б) статистичного ряду частот і відносних частот. Знайти розмах вибірки.

Відповідь: а) -3,-3,-3,-1,-1,0,0,0,0,1,2,3,5,5,6; ;

	-3	-1
	3/15	2/15	4/15	1/15	1/15	1/15	2/15	1/15

7. Використовуючи статистичний ряд розподілу, отриманий в попередній задачі, побудувати гістограму відносних частот, розбивши діапазон значень на інтервали довжини .

8. Обчислити незміщені оцінки математичного сподівання та дисперсії вибірки

	-2

Відповідь: .

9. В результаті чотирьох вимірювань температури повітря протягом одного дня отримані такі результати .Знайти: а) вибіркову середню результатів вимірювань; б) вибіркову і виправлену дисперсії спостережуваної температури; в) вибіркове та виправлене середнє квадратичне відхилення.

Відповідь: .

10. За вибіркою об’єму знайдена зміщена оцінка генеральної дисперсії . Знайти незміщену оцінку генеральної дисперсії.

Відповідь: .

11. Результати вимірювання ваги (в кг) випадково відібраних 100 підлітків наведені в таблиці

вага	36-40	40-44	44-48	48-52	52-56	56-60	60-64

Знайти вибіркову середню і незміщене середнє квадратичне відхилення ваги обстежених підлітків. (Вказівка. За варіанти взяти середини інтервалів.). Відповідь: .

12. Знайти вибіркову середню, вибіркову дисперсію та вибіркове середнє квадратичне відхилення для вибірки, заданої розподілом частот. (Вказівка. Перейти до умовних варіант вигляду –сталі)).

	500,3	500,4	500,5	100,6

Відповідь: .

Практичне заняття 10