Кореляційна функція випадкового процесу

Для оцінки ступеня залежності (зв’язку) двох перерізів випадкового процесу вводять нову характеристику.

 

Кореляційною функцією випадкового процесу називається невипадкова функція K_x (t ₁, t ₂) двох аргументів , яка при кожній парі значень дорівнює кореляційному моменту відповідних перерізів випадкового процесу:

 

. (1.17)

 

Властивості кореляційної функції

1. Якщо відома двовимірна щільність розподілу f (x₁, x₂, t₁, t₂) випад­кового процесу X(t), то

, (1.18)

або

. (1.19)

 

2. При рівності аргументів кореляційна функція дорівнює дисперсії випадкового процесу:

K_x (t, t) = D_x (t). (1.20)

3. Кореляційна функція симетрична відносно своїх аргументів:

K_x (t ₁, t ₂) = K_x (t ₂, t ₁). (1.21)

4. Модуль кореляційної функції не перевищує добутку середніх квад­ратичних відхилень випадкового процесу, взятих у точках, що від­повідають аргументам кореляційної функції:

| K_x (t ₁, t ₂)| £ s _x (t ₁)s _x (t ₂). (1.22)

 

5. При додаванні до випадкового процесу X(t) невипадкової функції j(x) кореляційна функція не змінюється, тобто якщо

Y(t) = X(t) + j(t), (1.23)

то (t₁, t₂) = K_x(t₁, t₂). (1.24)

6. При множенні випадкового процесу X(t) на невипадкову функцію j(t), його кореляційна функція множиться на j(t₁)j(t₂), тобто якщо

Y(t) = j(t)X(t), то K_y(t₁, t₂) = j(t₁)j(t₂)K_x(t₁, t₂). (1.25)

Кореляційна функція K_x(t₁, t₂) випадкового процесу X(t) характеризує залежність між двома перерізами X(t₁) та X(t₂) випадкового процесу. Чим менший зв’язок між цими перерізами, тим менше значення кореляційної функції K_x(t₁, t₂).

У багатьох випадках замість кореляційної функції K_x(t₁, t₂) розглядають нормовану кореляційну функцію r_x(t₁, t₂), яка визначається так:

(1.26)

Властивості нормованої кореляційної функції r_x(t₁, t₂):

1) r_x(t, t) = 1;

2) r_x(t₁, t₂) = r_x(t₂, t₁); (1.27)

3) |r_x(t₁, t₂)| £ 1.

Наближене значення кореляційної функції випадкового процесу X(t) за результатами n незалежних спостережень обчислюється за формулою

(1.28)

де x_i(t) (і=1,…,n)– реалізації випадкового процесу,

t₁, t₂, …, t_k, …t_l – вибрані моменти часу.

При розв’язанні деяких задач виникає необхідність з’ясувати питання про залежність двох різних випадкових процесів X(t) та Y(t). Для цього використовується так звана взаємна кореляційна функція.

Означення. Взаємною кореляційною функцією двох випадкових процесів X(t) та Y(t) називається невипадкова функція K_xy(t₁, t₂) двох аргументів t₁ і t₂, яка при кожній парі значень t₁ і t₂ дорівнює кореляційному моменту відповідних перерізів випадкових процесів X(t) та Y(t)

K_xy(t₁, t₂) = M[(X(t₁) – m_x(t₁))(Y(t₂) – m_y(t₂))]. (1.29)

Випадкові процеси X(t), Y(t) називаються некорельованими, якщо K_xy(t₁, t₂) = 0 при будь-яких значеннях аргументів t₁ і t₂. Інакше випадкові процеси X(t) та Y(t) називаються корельованими.

Стаціонарні випадкові процеси

Випадковий процес називається стаціонарним у вузькому розумінні, якщо його п -вимірна щільність розподілу не змінюється при будь-якому зсуві всіх аргументів часу на однакову величину, тобто для будь-якого натурального п і будь-якого :

 

. (1.30)

 

Імовірнісні характеристики стаціонарного процесу не повинні залежати від часу.

 

Одновимірна щільність стаціонарного випадкового процесу не залежить від часу:

 

. (1.31)

 

Математичне сподівання стаціонарного процесу дорівнює сталій:

 

. (1.32)

 

 

Дисперсія стаціонарного процесу дорівнює сталій

 

. (1.33)

 

Двовимірна щільність розподілу стаціонарного процесу буде залежати не від аргументів і , а лише від їх різниці:

 

. (1.34)

 

Кореляційна функція стаціонарного процесу залежить від різниці аргументів і :

 

(1.35)

.

 

Випадковий процес називається стаціонарним у широкому розумінні, якщо його математичне сподівання є сталим, а кореляційна функція залежить тільки від різниці аргументів, тобто якщо

, . (1.36)

 

Властивості кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу

 

1. Дисперсія стаціонарного процесу дорівнює значенню кореляційної функції в початку координат:

 

. (1.37)

 

2. Кореляційна функція стаціонарного процесу парна:

 

. (1.38)

 

3. Модуль кореляційної функції стаціонарного процесу не перевищує його дисперсії:

. (1.39)

 

Випадковий процес називається ергодичним, якщо будь-яка його імовірнісна характеристика, отримана за допомогою усереднення по множині можливих реалізацій, з імовірністю, як завгодно близькою до 1, дорівнює середній за часом, знайденій усередненням за досить великий проміжок часу з однієї єдиної реалізації випадкового процесу.

Суть ергодичної властивості випадкового процесу: одна реалізація достатньої протяжності може замінити при обробці всю множину реалізацій.

Якщо стаціонарний випадковий процес X(t) має ергодичну властивість, то його характеристики m_x і k_x(t) наближено знахо­дяться за формулами

 

(1.40)

 

(1.41)

 

де x(t) – одна з реалізацій випадкового процесу X(t). Якщо у фор­мулі (1.41) покласти t = 0, то враховуючи, що k_x(0) = D_x, одержимо

 

(1.42)

 

Математично ергодична властивість стаціонарного процесу записується так:

(1.43)

(1.44)

 

Якщо виконується рівність (1.43), то стаціонарний випадковий процес називається ергодичним щодо математичного сподівання; якщо ж має місце рівність (1.44), то процес є ергодичним відносно кореляційної функції.

Необхідною і достатньою умовою ергодичності випадкового процесу щодо математичного сподівання є співвідношення

(1.45)

а щодо кореляційної функції – співвідношення

(1.46)

Достатня умова ергодичності випадкового процесу:

 

(1.47)

 

Контрольні запитання

1. Що називається випадковою функцією? Випадковим процесом?

2. Дати означення реалізації випадкової функції, випадкового процесу.

3. Яка випадкова величина називається перерізом випадкового процесу?

4. Дати означення одновимірного закону розподілу та одновимірної щільності розподілу випадкового процесу.

5. Які ще закони розподілу використовуються для вивчення випадкового процесу?

6. Які випадкові процеси називаються процесами з дискретним часом? Неперервним часом?

7. Як шукається математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення випадкового процесу?

8. Як за наявності п реалізацій випадкового процесу наближено обчислюються його характеристики в певний момент часу?

9. Які випадкові процеси називаються стаціонарними у вузькому розумінні? в широкому розумінні?

10. Чому дорівнюють математичне сподівання та дисперсія стаціонарного процесу?

Розв’язування задач

 

 

Задача №1

 

Нехай рівномірно розподілена випадкова величина на відрізку . Знайти одновимірну функцію розподілу випадкового процесу , де .

 

Розв’язання

Знайдемоодновимірну функцію розподілу випадкового процесу:

 

.

 

Тут – функція рівномірного розподілу. Як відомо,

 

.

 

Підставимо у функцію .

 

Отримаємо

 

.

 

Оскільки ця функція змінюється від 0 до 1, то

 

і .

 

Підставимо замість змінну . Тоді

 

.

 

Ми отримали, що при кожному переріз випадкового процесу має рівномірний розподіл.

 

 

Задача №2

 

Для випадкового процесу з попередньої задачі знайти одновимірну щільність розподілу, математичне сподівання.

 

Розв’язання

Знайдемо одновимірну щільність розподілу випадкового процесу

 

.

 

Тепер визначимо математичне сподівання:

 

.

 

Задача №3

Випадковий процес X (t) заданий одновимірною щільністю розподілу

.

Знайти математичне сподівання m_x (t), дисперсію D_x (t) і середнє квад­ратичне відхилення s _x (t) випадкового процесу X (t).

 

Розв’язання

 

Розглянемо переріз випадкового процесу, що відповідає значенню t = t ₀. X (t ₀) – це випадкова величина, розподілена за нормальним законом зі щільністю розподілу

.

Параметри цього розподілу M (X (t ₀)) = t ₀, D (X (t ₀)) = 4, s(X (t ₀)) = 2. Тому згідно з означенням характеристиками заданого випадкового процесу X (t) будуть m_x (t) = t, D_x (t) = 4, s _x (t) = 2.

 

Задача №4

Для випадкового процесу , де - рівномірно розподілена випадкова величина на відрізку . Знайти одновимірну функцію розподілу(), одновимірну щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення.

 

Розв’язання

при

.

При кожному переріз випадкового процесу є рівномірно розподіленою величиною. Таким чином,

 

.

 

Щільність розподілу визначається так:

 

.

 

Знайдемо числові характеристики випадкового процесу.

 

.

 

.

 

.

Задача №5

 

Двовимірна щільність розподілу випадкового про­цесу X (t) має вигляд:

 

Знайти m_x (t), D_x (t), K_x (t ₁, t ₂).

 

Розв’язання

Оскільки

 

то випадкові величини X (t ₁) і X (t ₂) некорельовані, тому K_x (t ₁, t ₂) = 0, якщо t ₁ ¹ t ₂. Крім того, m_x (t) = 0, D_x (t) = 1. Отже,
K_x (t, t) = D_x (t) = 1.

 

Задача №6

 

Для випадкового процесу задана двовимірна щільність розподілу при і 0 в інших випадках. Знайти одновимірну щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію. Чи буде такий процес стаціонарним?

 

Розв’язання

 

Оскільки

 

,

 

то перерізи випадкового процесу є некорельовані випадкові

величини і

 

.

 

Оскільки

 

,

то

 

є одновимірною щільністю розподілу. Знайдемо числові характеристики випадкового процесу.

 

;

 

;

 

.

 

Розглянутий процес не буде стаціонарним, оскільки його математичне сподівання є функцією часу, а не сталою величиною.

 

 

Задача №7

 

В умовах попередньої задачі знайти одновимірну та двовимірну функції розподілу випадкового процесу.

 

Розв’язання

За означенням двовимірна функція розподілу визначається як подвійний інтеграл від двовимірної щільності:

 

 

,

 

де

.

 

Таким чином,

 

.

 

Одновимірна щільність, очевидно, має вигляд:

 

.

 

Задача №8

Задані характеристики випадкового процесу X (t):

m_x (t) = 2 t ² – 3 t, .

Знайти характеристики випадкового процесу:

Розв’язання

Знаходимо математичне сподівання m_y (t):

 

 

Кореляційну функцію K_y (t ₁, t ₂) випадкового процесу Y (t) знаходимо, використовуючи властивості 5, 6:

 

 

За властивістю 2 кореляційної функції маємо

 

 

 

Задача №9

 

Випадковий процес заданий двовимірною щільністю розподілу при і 0 в інших випадках. Знайти одновимірну та двовимірну функції розподілу.

 

Розв’язання

Оскільки

 

,

 

то одновимірна щільність розподілу

 

.

 

Знайдемо одновимірну функцію розподілу:

 

.

 

Аналогічно, двовимірна функція розподілу дорівнює подвійному інтегралу по змінних :

 

 

.

 

 

Задача №10

 

Для випадкового процесу з попередньої задачі знайти математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію. Чи буде такий процес стаціонарним?

 

Розв’язання

Знайдемо числові характеристики випадкового процесу. Спочатку визначимо математичне сподівання:

 

 

 

Далі визначаємо дисперсію і середнє квадратичне відхилення:

 

 

 

 

,

 

.

 

Оскільки перерізи випадкового процесу є некорельовані випадкові величини, то

 

 

і

 

.

 

Розглянутий процес не буде стаціонарним, оскільки його математичне сподівання є функцією часу, а не сталою величиною.

 

 

Задача №11

 

Розглядається випадковий процес , де - випадковий процес, заданий двовимірною щільністю розподілу при і 0 в інших випадках (див. задачі 6, 7). Знайти числові характеристики цього процесу. Чи буде такий процес стаціонарним? ергодичним?

 

Розв’язання

 

Визначимо числові характеристики процесу :

 

;

 

;

 

.

 

Тепер визначимо кореляційну функцію:

 

де (див. попередню задачу)

 

і

.

Процес є стаціонарним, оскільки математичне сподівання і кореляційна функція не залежать від часу. Процес є ергодичним за достатньою умовою ергодичності випадкового процесу, тобто

 

, де

 

Задача №12

 

Випадковий процес має такі характеристики , . Знайти відповідні характеристики процесу . Чи буде такий процес стаціонарним?

Розв’язання

 

Знайдемо математичне сподівання:

 

.

 

Використовуючи властивості кореляційної функції, знайдемо:

 

.

 

Процес є стаціонарним, оскільки математичне сподівання і кореляційна функція не залежать від часу.

 

 

Задача №13

 

Для випадкового процесу задана двовимірна щільність розподілу при і 0 в інших випадках (див. задачу 4). Знайти числові характеристики для процесу і встановити його стаціонарність.

 

Розв’язання

Знайдемо математичне сподівання:

 

.

 

Тепер визначимо дисперсію:

 

.

 

Визначаємо кореляційну функцію:

.

 

Процес стаціонарний, оскільки математичне сподівання є сталим і кореляційна функція не залежить від аргументів , тому можна вважати, що вона залежить тільки від їх різниці.

 

 

Задача №14

 

Для випадкового процесу , де – незалежні випадкові величини з відомими математичним сподіванням і дисперсією: . Знайти відповідні числові характеристики і кореляційну функцію. Чи буде такий процес стаціонарним?

 

Розв’язання

Знайдемо математичне сподівання випадкового процесу :

 

.

 

Далі визначаємо дисперсію заданого процесу

 

 

 

Тепер знаходимо кореляційну функцію:

 

 

 

.

 

Оскільки математичне сподівання є сталим, а кореляційна функція залежить від різниці аргументів , то процес є стаціонарним.

 

Задача №15

 

Відомі математичне сподівання та кореляційна функція випадкового процесу : . Знайти числові характеристики і кореляційну функцію випадкового процесу . Чи буде такий процес стаціонарним?

 

Розв’язання

Визначаємо математичне сподівання даного процесу:

 

.

 

Тепер знайдемо кореляційну функцію процесу :

 

 

 

 

 

;

 

.

 

Дисперсію визначимо з останньої формули, приймаючи :

 

.

Процес не буде стаціонарним, оскільки його кореляційна функція залежить не тільки від різниці, а і від суми аргументів .

Практичне заняття 14