Кореляційні функції випадкових процесів

Математичне сподівання й дисперсія є важливими характеристиками випадкового процесу, але вони не дають достатнього уявлення про те, який характер матимуть його окремі реалізації. Тобто для двох випадкових процесів, що мають цілковито різні структури, значення математичного сподівання й дисперсії можуть бути однаковими.

Аби охарактеризувати внутрішню структуру випадкового процесу, тобто врахувати зв’язок між його значеннями на різні моменти часу або, інакше кажучи, врахувати ступінь мінливості випадкового процесу, необхідно ввести поняття кореляційної функції випадкового процесу.

Кореляційною функцією випадкового процесу X(t) називають невипадкову функцію двох аргументів R_x(t₁, t₂), яка для кожної пари довільно вибраних значень аргументів (моментів часу) t₁ і t₂ дорівнює математичному сподіванню добутку двох випадкових величин і відповідних перерізів випадкового процесу:

(12.18)

Різні випадкові процеси діляться на стаціонарні й нестаціонарні залежно від того, як з часом змінюються їх статистичні характеристики. Розділяють стаціонарність у вузькому і в широкому розумінні.

Стаціонарним у вузькому розумінні називають випадковий процес X(t), якщо його n –мірні функції розподілу й щільності ймовірності при будь-якому n не залежать від зсуву всіх точок t₁, t₂, …, t_n уздовж осі часу на однакову величину t, тобто:

(12.19)

Це означає, що статистичні характеристики випадкового стаціонарного процесу незмінні у часі.

Стаціонарний випадковий процес є своєрідним аналогом усталеного процесу в детермінованих системах. Будь-який перехідний процес не є стаціонарним.

Стаціонарним у широкому розумінні називають випадковий процес X(t), математичне сподівання якого є постійним:

(12.20)

а кореляційна функція залежить тільки від однієї змінної – різниці аргументів t=t₂ - t₁; при цьому кореляційну функцію позначають:

(12.21)

Процеси, що є стаціонарними у вузькому розумінні, обов’язково є стаціонарними в широкому розумінні, однак, супротивне твердження не є вірним.

Для випадкового процесу з нормальним законом розподілу математичне сподівання й кореляційна функція цілком визначають його n -мірну щільність ймовірності, тому для нормальних випадкових процесів поняття стаціонарності в широкому й вузькому розумінні співпадають.

Теорія стаціонарних процесів розроблена найбільш повно і дозволяє порівняно просто виконувати розрахунки для багатьох практичних випадків. Тому припущення щодо стаціонарності іноді доцільно робити й для тих випадків, коли випадковий процес не є стаціонарним, але на інтервалі часу, що розглядають, статистичні характеристики сигналів не встигають істотно змінитися.

У теорії випадкових процесів використовують два поняття середніх значень:

- середнє значення за множиною (математичне сподівання) (12.9), що визначається на підставі спостережень за множиною реалізацій випадкового процесу в один й той самий момент часу; середнє значення за множиною позначають хвилястою лінією над виразом, що описує випадкову функцію, тобто ;

- середнє значення за часом, що визначається на підставі спостереження за окремою реалізацією випадкового процесу x(t) протягом достатньо тривалого часу Т; середнє значення за часом позначають прямою рискою над виразом, що описує випадкову функцію, і визначають за формулою:

, (12.22)

якщо ця границя існує.

Взагалі, для одного й того самого випадкового процесу величини є різними. Однак існує клас стаціонарних випадкових процесів, що називають ергодичними, для яких середнє за множиною дорівнює середньому за часом, тобто:

(12.23)

Кореляційна функція R_x(t) ергодичного стаціонарного випадкового процесу X(t) необмежено зменшується за модулем при |t|®¥.

Властивість ергодичності має дуже велике практичне значення. Для визначення статистичних властивостей деяких об’єктів, якщо важко здійснити одночасне спостереження за ними у довільно вибраний момент часу (наприклад, за наявності одного дослідного зразка), його можна замінити тривалим спостереженням за одним об’єктом. Іншою мовою, окрема реалізація ергодичного випадкового процесу на нескінченному інтервалі часу цілком визначає весь випадковий процес із його нескінченними реалізаціями. Цей факт лежить в основі методу експериментального визначення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу за одною реалізацією.

Для ергодичних випадкових процесів за умови, що середнє значення випадкового процесу дорівнює нулю (), кореляційну функцію можна визначити за виразом:

. (12.24)

Крім того, для ергодичних випадкових процесів можна встановити дуже важливий зв’язок між дисперсією й кореляційною функцією – дисперсія стаціонарного випадкового процесу дорівнює початковому значенню кореляційної функції:

D_x = R_x(0) = const. (12.25)

Звідси випливає, що дисперсія стаціонарного випадкового процесу є постійною, отже постійним є й середнє квадратичне відхилення:

. (12.26)

Статистичні властивості двох випадкових процесів X(t) і G(t) можна охарактеризувати взаємною кореляційною функцією R_xg(t₁, t₂), яка для кожної пари довільно вибраних значень аргументів t₁ і t₂ дорівнює:

(12.27)

Для ергодичних випадкових процесів можна записати:

(12.28)

де x(t) і g(t) – будь-які реалізації стаціонарних випадкових процесів X(t) і G(t) відповідно.

Взаємна кореляційна функція (12.28) характеризує взаємний статистичний зв’язок двох випадкових процесів X(t) і G(t) на різні моменти часу, що віддалені один від одного на відрізок часу t. Значення R_xg(0) характеризує цей зв’язок на один і той самий момент часу.

Якщо випадкові процеси X(t) і G(t) статистично не зв’язані між собою і мають нульові середні значення, то їх взаємна кореляційна функція для всіх t дорівнює нулю. Однак, супротивне твердження про те, що за нульової взаємної кореляційної функції процеси є незалежними, слушне тільки для процесів із нормальним законом розподілу.

Наведемо без доказу деякі основні властивості кореляційних функцій R_x(t).

1. Початкове значення кореляційної функції (див. 12.25) дорівнює дисперсії випадкового процесу:

R_x(0) = D_x.

2. Значення кореляційної функції за будь-якого t не може перевищувати її початкового значення, тобто:

R_x(0) ³ |R_x(t)|. (12.29)

3. Кореляційна функція є непарною функцією t, тобто:

R_x(t) = R_х(-t). (12.30)

4. Кореляційну функцію суми випадкових процесів Z(t) = X(t) + G(t) визначають виразом:

R_z(t) = R_х(t) + R_g(t) + R_xg(t) + R_gx(t), (12.31)

де R_xg(t) і R_gx(t) – взаємні кореляційні функції.

5. Кореляційна функція сталої величини x(t) = A₀ дорівнює квадрату цієї сталої величини A₀² (рис. 12.1, а).

6. Кореляційна функція періодичної функції, наприклад x(t)=Asin(w₁t+j), являє собою косинусоїду (рис. 12.1, д), що має ту саму частоту w₁, що й x(t), і не залежну від зсуву фази j, тобто:

R_х(t) = (А²/2)cosw₁t, (12.32)

7. Кореляційна функція часової функції, що розкладається у ряд Фур’є:

має такий вигляд:

(12.33)

8. Типову кореляційну функцію стаціонарного випадкового процесу (рис. 12.1, б) можна апроксимувати таким аналітичним виразом:

(12.34)

де D_x – дисперсія, a = const – параметр затухання.

 

 

 

Зі збільшенням t зв’язок між X(t) і X(t+t) послаблюється і кореляційна функція стає менше. На рис. 12.1, б,в наведені дві кореляційні функції й дві реалізації випадкового процесу, що їм відповідають. Легко помітити, що кореляційна функція, яка відповідає випадковому процесу з більш тонкою (більш мінливою) структурою, зменшується швидше. Іншою мовою, чим більш високі частоти присутні у випадковому процесі, тим швидше убуває відповідна кореляційна функція.

9. Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу, на який накладена періодична складова з частотою w_k, також буде містити періодичну складову тієї самої частоти.

10. Чим слабший зв’язок між X(t) і X(t+t), тим швидше убуває кореляційна функція R_x(t). Для білого шуму, де цей зв’язок відсутній, кореляційна функція являє собою d-функцію (рис. 12.1, г):

R_x(t) = Nd(t), (12.35)

де N = const.

Зазначимо, що випадковий процес типа білого шуму є фізично нереальним, оскільки йому відповідає нескінченно велике значення дисперсії й середнє значення квадрата випадкової величини , а отже, й нескінченно велика потужність.

Під час розв’язання практичних задач часто використовують нормовану кореляційну функцію:

r_х(t) = R_x(t)/D_x. (12.36)

Ця функція зручна тим, що завжди r_х(0) = 1.

Іноді розглядають нормовану взаємну кореляційну функцію:

, (12.37)

причому можна показати, що .

Кореляційні функції випадкових процесів можна визначити за експериментальними даними (за експериментальною реалізацією випадкового процесу). Але такий спосіб є трудомістким, тому на практиці звичайно кореляційні функції визначають за допомогою спеціальних приладів – кореляторів, що автоматично обчислюють середні добутки двох координат осцилограм, які знаходяться одна від одної на відстані t.