Моделювання випадкових векторів і функцій

Мета лабораторної роботи – познайомитись із методами моделювання випадкових векторів і функцій, отримати і закріпити практичні навички з використання алгоритмів методів моделювання випадкових векторів і функцій для розв'язання конкретних задач.

Короткі теоретичні відомості

Моделювання випадкових векторів.

Нехай багатовимірна випадкова величина (випадковий вектор) зі складовими Х_і(і= ) задається математичними сподіваннями m_i = M [X_i] і матрицею кореляційних моментів:

У випадку залежних координат Х_і складові випадкового вектора визначаються у процесі моделювання як лінійне перетворення некорельованих розподілених за нормальним законом нормованих випадкових величин {V₁, V₂, …, V_n,} Î N(0, 1), m = 0, σ = 1:

 

Коефіцієнти претворення послідовно визначають із співвідношень:

Моделювання випадкових функцій. Випадковою називається функція, ординати якої для будь-яких фіксованих значень аргумента є випадковими величинами. Задачу моделювання випадкових функцій у загальному випадку не можна звести до моделювання випадкової функції для кожного значення аргументу, оскільки між значеннями функції існує кореляційна залежність. Випадкова функція, аргументом якої є час (t) носить назву випадкового процесу.

Для моделювання реалізацій нестаціонарних випадкових процесів використовують спосіб, заснований на методі канонічних розкладів.

Суть методу полягає у тому, що реалізація випадкового процесу Х(t) на скінченому інтервалі часу задається у вигляді суми елементарних випадкових функцій

Тут W_k – центровані некоректовані випадкові величини з дисперсіями D_k i математичним сподіванням m=0, а f_k – невипадкові координатні функції часу.

Якщо канонічний розклад випадкового процесу є відомим, то його кореляційна функція має вигляд

Дисперсія визначається за формулою

.

Невипадкові координатні функції часу f_k для усіх значень функції на інтервалі, що розглядається, а також дисперсії випадкових величин визначається за співвідношеннями:

Зазначимо, що якщо i > j, то f_i(t_j) = 0, а також f_i(t_і) = 1.

Таким чином, алгоритм моделювання реалізацій нестаціонарного випадкового процесу, що задається математичним сподіванням m_x(t) і кореляційною функцією K_x(t_i, t_j) є таким

· За вхідними даними процесу для всіх дискретних значень функцій у моменти часу t_j визначають дисперсії D_i і координатні функції канонічного розкладу f_i(t_j).

· Із сукупності випадкових чисел вибирають n чисел і перетворюють їх будь-яким відомим способом у випадкові величини W з заданим розподілом (m_W = 0, D_W = D).

Значення випадкового процесу визначають згідно з виразами:

Наведений алгоритм моделювання у випадку стаціонарних випадкових процесів суттєво спрощується, оскільки у цьому випадку кореляційна функція не залежить від вибору аргументів, а визначається лише їх різницею .

Постановка завдання

Відповідно до заданого варіанта:

1. Отримати послідовність реалізацій випадкового вектора заданого обсягу (значень випадкової функції на заданому інтервалі часу).

2. Побудувати графік зміни реалізації випадкової функції та координатних функцій канонічного розкладу на заданому інтервалі часу.

3. Записати кількість реалізацій розподілів випадкового вектора.

Індивідуальні завдання для моделювання

Варіант 1

Стан блоку характеризується тривимірним вектором параметрів

Відхилення параметрів від номінальних значень описується сумісним нормальним розподілом з нульовим вектором середніх значень = (0,0,0) та кореляційною матрицею

Змоделювати стан вектора параметрів для N = 10 блоків.

Варіант 2

Змоделювати N = 15 реалізацій нормального випадкового вектора з математичним сподіванням = (5,-2,0) та кореляційною матрицею

Варіант 3

Змоделювати N = 18 реалізацій систем двох випадкових величин (Х₁,Х₂), що підпорядковуються двомірному нормальному закону розподілу з параметрами: т₁ = 3, т₂ = 3.5, σ₁ = 4, σ₂ = 5, k₁₂ = k₂₁ = 7.

Варіант 4

Випадкова точка (х, у) розподілена за нормальним законом на площині з параметрами: т_х = 7, т_у = 18, σ _х = 2, σ _y = 3, k_ху = 0.

Змоделювати N = 25 реалізацій випадкової точки.

Варіант 5

Процес зміни напруги на клемах генератора являє собою нестаціонарний випадковий процес, що задається математичним сподіванням m(t) = 20 – е^–0.2t та кореляційною матрицею

Отримати канонічний розклад випадкового процесу і змоделювати реалізацію напруги на часовому інтервалі [0, 8]с з кроком дискретності відліків τ =2с.

Варіант 6

Відхилення параметра руху ПС від заданої траєкторії під час польоту в збудженій атмосфері є випадковим процесом з нульовим математичним сподіванням і кореляційною функцією

де D_t = 5t + 350, α = 0.08.

Отримати канонічний розклад випадкового процесу і змоделювати реалізацію параметра руху на інтервалі [0; 40]с з кроком дискретності відліків τ = 5с.

Варіант 7

Змоделювати N = 10 реалізацій тривимірного випадкового вектора з математичним сподіванням = (–5, 10, 25)та кореляційною матрицею

 

Варіант 8

Бортова система автоматичного управління ПС в режимі автоматичного заходу на посадку здійснює вихід літака на висоту прийняття рішення. Відхилення літака від рівносигнальних зон курсу і глісади в момент прольоту ВПР описується нормальним законом розподілу з параметрами: m_x=0, т_y= 0, σ_x = 3, σ_y = 2, k_xy = 1.5. Змоделювати N = 20 реалізацій процесу заходу на посадку.

Варіант 9

Проводиться стрільба по точковій цілі на площині. Розсіяння точки розриву снаряду проходить за нормальним законом, центр якого співпадає з ціллю (т_х = т_у = 0), а кореляційна матриця має вигляд:

 

Попадання в ціль відбувається, якщо відстань від неї до точки розриву снаряда не перевищує r₀ = 10м. Змоделювати результати N = 10 пострілів і визначити кількість попадань.

Варіант 10

Похибка автоматичної системи спостереження описується нестаціонарною випадковою функцією з математичним сподіванням m(t) = 0.01t і кореляційною функцією k(t, t+τ) = 1.2e^-ατ cos βτ, де α = 0.05; β = 0.04. Отримати канонічний розклад випадкової функції і змоделювати реалізацію похибки на інтервалі [0, 100]с, з кроком дискретності τ = 10 с.

Варіант 11

Частота обертання валу електродвигуна змінюється під впливом випадкових коливань напруги живлення і навантаження на валу і описується нестаціонарною випадковою функцією з математичним сподіванням m(t) = 3*10³ sin0.2 t і кореляційною функцією k(t,t + τ) = D_t * е^-ατ, де D_t = 20.5 t; α= 0.05. Отримати канонічний розклад випадкової функції і змоделювати реалізацію частоти обертання валу електродвигуна на інтервалі [0; 40] с, з кроком дискретності τ = 4 с.

Варіант 12

Динамічна похибка систем автоматичної зміни частоти є нестаціонарний випадковий процес з нульовим математичним сподіванням і кореляційною функцією k(t,t + τ) = D_t * е^-ατ cosβτ; D_t = 200 + 5 t; α =0.2; β =0.5.

Отримати канонічний розклад випадкового процесу і змоделювати реалізацію динамічної похибки системи на інтервалі [0; 20] с, з кроком дискретності τ = 2 с.

Варіант 13

Стан блоку характеризується тривимірним вектором параметрів

Відхилення параметрів від номінальних значень описується сумісним нормальним розподілом з нульовим вектором середніх значень = (0,0,0) та кореляційною матрицею

Змоделювати стан вектора параметрів для N = 10 блоків.

Варіант 14

Змоделювати N = 15 реалізацій нормального випадкового вектора з математичним сподіванням = (5,-2,0) та кореляційною матрицею

Варіант 15

Змоделювати N = 18 реалізацій систем двох випадкових величин (Х₁,Х₂), що підпорядковуються двомірному нормальному закону розподілу з параметрами: т₁ = 3, т₂ = 3.5, σ₁ = 4, σ₂ = 5, k₁₂ = k₂₁ = 7.

Варіант 16

Випадкова точка (х, у) розподілена за нормальним законом на площині з параметрами: т_х = 7, т_у = 18, σ _х = 2, σ _y = 3, k_ху = 0.

Змоделювати N = 25 реалізацій випадкової точки.

Варіант 17

Процес зміни напруги на клемах генератора являє собою нестаціонарний випадковий процес, що задається математичним сподіванням m(t) = 20 – е^–0.2t та кореляційною матрицею

Отримати канонічний розклад випадкового процесу і змоделювати реалізацію напруги на часовому інтервалі [0, 8]с з кроком дискретності відліків τ =2с.

Варіант 18

Відхилення параметра руху ПС від заданої траєкторії під час польоту в збудженій атмосфері є випадковим процесом з нульовим математичним сподіванням і кореляційною функцією

де D_t = 5t + 350, α = 0.08.

Отримати канонічний розклад випадкового процесу і змоделювати реалізацію параметра руху на інтервалі [0; 40]с з кроком дискретності відліків τ = 5с.

Варіант 19

Змоделювати N = 10 реалізацій тривимірного випадкового вектора з математичним сподіванням = (–5, 10, 25)та кореляційною матрицею

 

Варіант 20

Бортова система автоматичного управління ПС в режимі автоматичного заходу на посадку здійснює вихід літака на висоту прийняття рішення. Відхилення літака від рівносигнальних зон курсу і глісади в момент прольоту ВПР описується нормальним законом розподілу з параметрами: m_x=0, т_y= 0, σ_x = 3, σ_y = 2, k_xy = 1.5. Змоделювати N = 20 реалізацій процесу заходу на посадку.

Варіант 21

Проводиться стрільба по точковій цілі на площині. Розсіяння точки розриву снаряду проходить за нормальним законом, центр якого співпадає з ціллю (т_х = т_у = 0), а кореляційна матриця має вигляд:

 

Попадання в ціль відбувається, якщо відстань від неї до точки розриву снаряда не перевищує r₀ = 10м. Змоделювати результати N = 10 пострілів і визначити кількість попадань.

Варіант 22

Похибка автоматичної системи спостереження описується нестаціонарною випадковою функцією з математичним сподіванням m(t) = 0.01t і кореляційною функцією k(t, t+τ) = 1.2e^-ατ cos βτ, де α = 0.05; β = 0.04. Отримати канонічний розклад випадкової функції і змоделювати реалізацію похибки на інтервалі [0, 100]с, з кроком дискретності τ = 10 с.

Варіант 23

Частота обертання валу електродвигуна змінюється під впливом випадкових коливань напруги живлення і навантаження на валу і описується нестаціонарною випадковою функцією з математичним сподіванням m(t) = 3*10³ sin0.2 t і кореляційною функцією k(t,t + τ) = D_t * е^-ατ, де D_t = 20.5 t; α= 0.05. Отримати канонічний розклад випадкової функції і змоделювати реалізацію частоти обертання валу електродвигуна на інтервалі [0; 40] с, з кроком дискретності τ = 4 с.

Варіант 24

Динамічна похибка систем автоматичної зміни частоти є нестаціонарний випадковий процес з нульовим математичним сподіванням і кореляційною функцією k(t,t + τ) = D_t * е^-ατ cosβτ; D_t = 200 + 5 t; α =0.2; β =0.5.

Отримати канонічний розклад випадкового процесу і змоделювати реалізацію динамічної похибки системи на інтервалі [0; 20] с, з кроком дискретності τ = 2 с.

Варіант 25

Стан блоку характеризується тривимірним вектором параметрів

Відхилення параметрів від номінальних значень описується сумісним нормальним розподілом з нульовим вектором середніх значень = (0,0,0) та кореляційною матрицею

Змоделювати стан вектора параметрів для N = 10 блоків.

Варіант 26

Змоделювати N = 15 реалізацій нормального випадкового вектора з математичним сподіванням = (5,-2,0) та кореляційною матрицею

Варіант 27

Змоделювати N = 18 реалізацій систем двох випадкових величин (Х₁,Х₂), що підпорядковуються двомірному нормальному закону розподілу з параметрами: т₁ = 3, т₂ = 3.5, σ₁ = 4, σ₂ = 5, k₁₂ = k₂₁ = 7.

Варіант 28

Випадкова точка (х, у) розподілена за нормальним законом на площині з параметрами: т_х = 7, т_у = 18, σ _х = 2, σ _y = 3, k_ху = 0.

Змоделювати N = 25 реалізацій випадкової точки.

Варіант 29

Процес зміни напруги на клемах генератора являє собою нестаціонарний випадковий процес, що задається математичним сподіванням m(t) = 20 – е^–0.2t та кореляційною матрицею

Отримати канонічний розклад випадкового процесу і змоделювати реалізацію напруги на часовому інтервалі [0, 8]с з кроком дискретності відліків τ =2с.

Варіант 30

Відхилення параметра руху ПС від заданої траєкторії під час польоту в збудженій атмосфері є випадковим процесом з нульовим математичним сподіванням і кореляційною функцією

де D_t = 5t + 350, α = 0.08.

Отримати канонічний розклад випадкового процесу і змоделювати реалізацію параметра руху на інтервалі [0; 40]с з кроком дискретності відліків τ = 5с.

Лабораторна робота 4