Випадковий процес. Основні моментні функції.

Випадковим процесом називається функція , кожне миттєве значення якої (при ) є випадковою величиною . Випадкове значення , якого набуває випадковий процес при , називають перетином випадкового процесу, що відповідає даному значенню аргументу .

Реалізацією випадкового процесу називають невипадкову функцію , на яку перетворюється випадковий процес після проведення досліду. Виконання не одного досліду, а декількох після кожного з яких на інтервалі часу знаходять певну реалізацію ( – номер досліду) дає кілька різних реалізацій випадкового процесу: , або статистичний ансамбль (сім’ю) реалізацій, наприклад, набір сигналів (рис. 7.5), які можна спостерігати на виходах однакових генераторів шумової напруги.

 

Однак зовсім необов'язково, щоб випадкові процеси були складними, з нерегулярною за часом поведінкою, функціями. Часто доводиться мати справу з випадковими процесами, утвореними гармонічними сигналами , у яких один з трьох параметрів - випадкова величина. При скінченній кількості параметрів випадковий процес прийнято називати квазідетермінованим випадковим процесом.

Моментні функції випадкових процесів

Менш докладні, але цілком задовільні у практичному плані характеристики випадкових процесів можна отримати, обчислюючи моменти тих випадкових величин, які знаходяться в перетинах цих процесів. У загальному випадку ці моменти залежать від часових аргументів, тому отримали назву моментних функцій.

Найбільше значення у статистичній радіотехніці мають три моментних функції: математичне сподівання, дисперсія та функція кореляції.

Математичне сподівання.

Одновимірну моментну функцію першого порядку

(7.51)

називають математичним сподіванням випадкового процесу. В загальному випадку математичне сподівання випадкового процесу різне для різних моментів часу, тому воно є функцією параметра . Усереднення виконується за ансамблем реалізацій.

 

Дисперсія

Центральну моментну функцію другого порядку називають дисперсією випадкового процесу:

. (7.52)

Дисперсія визначає ступень розкиду миттєвих значень окремих реалізацій у фіксованому перетині відносно середнього значення.

 

Кореляційна функція

Кореляційна функція – це функція, що характеризує ступінь залежності між перетинами випадкового процесу, взятими в різні моменти часу. Функція кореляції випадкового процесу є двомірною центральною моментною функцією другого порядку

(7.53)

де – ймовірність того, що в момент часу функція знаходиться в інтервалі від до , а в момент – в інтервалі від до .

 

Спектральний метод аналізу проходження випадкових сигналів через лінійні електричні кола.

На вході лінійного стаціонарного кола розглянемо випадковий стаціонарниі процес , у якого, як відомо, математичне сподівання стале у часі і для простоті дорівнює: . Функція кореляції

залежить лише від величини . Визначимо статистичні характеристики вихідного сигналу.

Середнє значення вихідного сигналу

Виразимо реалізацію х(ї) вхідного сигналу Х(і) за допомогою інтеграла Фур'є

. (1)

Вихідний сигнал можна знайти, якщо відомим буде коефіцієнт передачі :

. (2)

Переходячи від окремої реалізації до ансамблю вхідних сигналів, слід врахувати, що, як відомо, у випадку стаціонарного процесу середнє значення спектральної густини дорівнює нулеві .

Тому, виконуючи усереднення в обох частинах рівності (8.2), матимемо:

. (3)

Кореляційна функція та спектральна густина потужності випадкового сигналу на виході системи

Функцію кореляції вихідного сигналу будемо шукати за формулою

. (4)

Тут реалізація визначається аналогічно реалізації :

. (5)

Формула (8.5) не зміниться, якщо в її правої частини перейти до комплексно-спряжених величин:

. (6)

Тоді

. (7)

Врахуємо, що вхідний сигнал стаціонарний, тому, як відомо, випадкові спектральні густини його окремих реалізацій дельтакорельовані, тобто

, (8)

де - спектр потужності стаціонарного випадкового процесу . З цієї причини правий бік формули (8.7) набуває вигляду:

. (9)