Передавальна функція лінійних дискретних систем

 

Передавальна функція - динамічна характеристика об'єкта або системи, яка являє собою відношення перетвореного по Лапласу конкретного виходу об'єкту/системи до перетвореного по Лапласу конкретного входу при нульових початкових умовах. Більш просте тлумачення: це математичний вираз, який характеризує поведінку об'єкту в часі і яким відносно просто маніпулювати.

Передавальна функція є одним з ключових понять теорії керування. При управлінні у динамічних системах часто потрібно виконувати перетворення сигналу у сигнал іншої фізичної природи (класичний приклад — напругу на обмотках двигуна у частоту обертання ротора), при цьому перехідна функція являє собою диференціальне рівняння, яким складно оперувати при розрахунках. Застосування перетворення Лапласа до перехідної функції дозволило спростити диференціальні рівняння до алгебраїчних, а отже, спростило аналіз динамічних особливостей об'єктів.

 

Структурна схема передавальної функції.

 

Однією із найзручніших для аналізу динамічних систем є властивість перетворення Лапласа зводити оператори диференціювання в оригіналах до звичайного множення в зображеннях, а оператори інтегрування — в звичайне ділення. Так,

,

А враховуючи лінійність перетворення, складні диференціальні рівняння легко перетворюються в алгебраїчні:

Для отримання передавальної функції потрібно розділити перетворений вихідний сигнал на перетворений вхідний:

 

 

Для дискретних і дискретно-безперервних систем вводиться поняття дискретної передавальної функції. Нехай — вхідний дискретний сигнал такої системи, а — її дискретний вихідний сигнал, . Тоді передавальна функція такої системи запишеться у вигляді:

,

де і —z – перетворення для сигналів і відповідно:

,

.

 

11 Види ліній зв’язку та їх основні властивості

Канал зв’язку - це сукупність призначених для передачі інформації на відстань технічних засобів та середовища розповсюдження.

За призначенням канал зв’язку поділяються: телефонні, телеграфні і т. д.

За характером експлуатації: виділені, комутовані.

Залежно від характеру коливань, які використовуються для передачі інформації, канали поділяють: електричні, акустичні, електромагнітні і т. д.

Лінії зв’язку поділяються на: основні і допоміжні.

Основні – це лінії зв’язку, які несуть секретну інформацію.

Залежно від режиму інформацію, що передає лінія, присвоюється цифра:

Лінія 1 – секретна інформація.

Лінія 2 – внутрішня телефонна мережа.

Лінія 3 – зовнішня телефонна мережа.

Класифікація ліній зв’язку за характером передавального середовища:

1) дротяні лінії(повітряні лінії, кабельні лінії. Кабельні дротяні лінії, які комутовані телефонною мережею загального користування, як лінія мережі абонентського телеграфу).

2) Високочастотні лінії зв’язку.

3) Повітряні лінії електропередачі високої напруги. Використовується для передачі телеметричних повідомлень.

4) Лінії радіозв’язку і радіорелейні лінії. Використовується для космічного, радіорелейного, УКХ, мобільного, пейджингового зв’язку.

5) Лінії розподілених силових мереж.

Переважаючий вплив різних типів зв’язку.

1) повітряний – систематичний вплив, що зростає із збільшенням частоти.

2) Коаксіальний кабель – систематичний вплив треті кола, що зменшується з ростом частоти внаслідок поверхневого ефекту.

3) Симетричний кабель – систематичний вплив, що збільшується з ростом частоти.

4) Оптичний кабель – систематичний і випадковий вплив, і при 30ГГц від частоти не залежить.

5)

 

 

Первинні параметри кола

Основними характеристиками, що визначають величину струму й напруги в кожній точці симетричного або коаксіального кола, є чотири первинних параметри передачі: активний електричний опір R, індуктивність L, ємність С та провідність ізоляції G. Ці параметри рівномірно розподілені по всій довжині кола. Отже, кабель зв'язку являє собою однорідну лінію з рівномірно розподіленими параметрами. У техніку кабелів зв'язку прийнято визначати всі параметри на 1 км довжини кола. Первинні параметри передачі кола (R, L, С и G) залежать від діаметра й матеріалу провідників, відстані між ними, типу ізоляції, температури й частоти струму.

Активний електричний опір кабельного кола складається з опорів двох струмопровідних жил і втрат, обумовлених впливом електромагнітного поля розглянутого кола на сусідні провідники й інші металеві частини конструкції кабелю (екран, металеву оболонку й ін.).

При розрахунку активного опору кабельного кола його зручно представляти у вигляді двох доданків: опору постійному струму й опору, викликаного зміною електромагнітного поля змінного струму.

Електричний опір кола постійному струму, Ом/км, визначається по формулі:

(1.1)

де r - питомий опір металу провідника, рівний для міді 0,0175 Ом×мм²/м і для алюмінію 0,0291 Ом×мм²/м; d - діаметр провідника, мм; l - довжина провідника, км; s — площа поперечного переріза провідника, мм².

Опір кола симетричного кабелю, викликаний зміною електромагнітного поля змінного струму залежить від частоти струму. Більшою мірою залежить від частоти опір жил. При проходженні по колі струму високої частоти усередині кожного провідника утворяться вихрові струми, які замикаються в товщі провідника по траєкторіях, схожим на еліпси. Напрямок вихрових струмів у провіднику завжди збігається з напрямком переданого на поверхні провідника струму. Таким чином, переданий струм витісняється із центра провідника на його поверхню.

 

З урахуванням всіх цих втрат активний опір кола R, Ом/км, при високій частоті визначається формулою:

(1.2)

 

де R₀ - електричний опір кола постійному струму; F - коефіцієнт, що враховує втрати в провіднику внаслідок поверхневого ефекту; Р - коефіцієнт, що враховує втрати в провідниках другої пари цієї ж четвірки; для зіркової скрутки Р = 5, для подвійної парної скрутки Р = 2; G_I - коефіцієнт, що враховує втрати в провіднику внаслідок ефекту близькості; Н - коефіцієнт, що враховує втрати в провіднику внаслідок повторної дії ефекту близькості; c - коефіцієнт спіральності скрутки c = 1,02; D R - додатковий опір внаслідок втрат на вихрові струми в сусідніх четвірках і металевій оболонці; а - відстань між центрами провідників, мм; d₀ - діаметр провідника, мм.

Цей додатковий опір визначається по наближеній формулі:

де f - частота, Гц; п - число четвірок у кабелі.

 

Також активний опір залежить від температури. Теоретично від температури залежать всі чотири первинних параметри, однак практично варто враховувати тільки вплив на величину активного опору, тому що зміна параметрів L, С и G від температури досить незначна (на один-два порядків нижче) і визначається температурними коефіцієнтами діелектрика.

Температурна залежність активного опору визначається по формулі:

(1.3)

де R, - опір кола (провідника) при температурі t °C; R₂₀- опір кола (провідника) при температурі 20 °С; a_R - температурний коефіцієнт опору, рівний для мідних провідників 0,004 і для алюмінієвих провідників 0,0037.

 

Індуктивність кабельного кола складається із внутрішньої індуктивності кожного провідника й зовнішньої індуктивності, обумовленої зовнішнім магнітним потоком. Величина магнітної проникності впливає на величину внутрішньопровідникової індуктивності жил, виготовлених з магнітних матеріалів (сталі, біметалічних сталь-мідь). Як правило, провідники для кабелів зв'язку виготовляються в основному мідні й в окремих випадках алюмінієві, тобто з діамагнітних матеріалів (m = 1). Індуктивність кола симетричного кабелю також залежить від частоти струму.

Індуктивність кола L, Г/км, при високій частоті дорівнює

(1.4)

де Q - коефіцієнт, що враховує витиснення магнітного поля із провідника внаслідок поверхневого ефекту; а - відстань між центрами провідників, мм.

 

Ємність кабельного кола аналогічна ємності конденсатора, у якого роль обкладок виконують струмопровідні жили (провідники), а діелектриком служить ізолюючий їх матеріал.

Ємність кабельного кола в кабельній техніці прийнято називати робочою ємністю, на відміну від часткових ємностей, тобто ємностей між будь-якими окремими жилами та жилами й оболонкою кабелю.

Робоча ємність С, Ф/км, симетричної пари визначається по формулі:

(1.5)

де e_Э - еквівалентна діелектрична проникність ізоляції; k - коефіцієнт скрутки; d₀ - діаметр струмопровідної жили, мм; d_r — діаметр групи жил, мм (для парної скрутки d_r = 1,65 d₁ а для зіркової скрутки d_r = 2,41 d₁; d₁ - діаметр ізольованої жили,мм); d - поправочний коефіцієнт, рівний 0,94 для парної скрутки й 0,75 для зіркової скрутки.

З формули (1.5) видно, що робоча ємність залежить від діаметра провідників і відстані між ними й типу ізоляції (e_э). Еквівалентна діелектрична проникність ізоляції e_э залежить від матеріалу діелектрика й типу ізоляції й дорівнює для симетричних пар:

1,2¸1,3 - для кордельно-полістирольної ізоляції;

1,3¸1,4 - для пористо-поліетилеиової;

1,8¸2,0 - для суцільної поліетиленової;

1,35¸1,45 - для кордельно-паперової.

 

Провідність ізоляції кабельного кола складається із провідності ізоляції постійному струму й провідності ізоляції змінному струму. Провідність ізоляції постійному струму досить мала й становить порядку 1*10^-10 Мом/км, тому нею звичайно нехтують.

Провідність ізоляції змінному струму залежить від провідності ізоляції постійному струму, діелектричних втрат і частоти струму.

Явище діелектричних втрат у конденсаторі характеризується тим, що струм випереджає напругу не на 90° а на кут (90- d). Кут d називається кутом діелектричних втрат. Провідність, обумовлена діелектричними втратами, дорівнює G₁ = wC ×tg d, отже,

(1.6)

Як вказувалося вище, у кабельних лініях зв'язку величина Go мала в порівнянні з G₁, тому нею можна зневажити.

Для складної комбінованої ізоляції (діелектрик плюс повітря) визначається еквівалентна величина tgd_е, що значно менше tgd суцільного діелектрика.

Як правило, норми на опір ізоляції (зворотна величина провідності ізоляції) даються при температурі 20°С. З підвищенням температури у всіх видів ізоляції опір знижується.

 

Вторинні параметри кола

При поширенні електромагнітної енергії по довгій кабельній лінії напруга між провідниками й струм у провідниках не залишаються постійними, а змінюються за абсолютним значенням і по фазі. Відношення між струмом і напругою в будь-якій точці кола й струмом і напругою на початку кола залежать від двох параметрів - хвильового опору Z_B і коефіцієнта розповсюдження g, які звуться вторинних параметрів кола. Вони є основними показниками, що характеризують електричні властивості кола.

Тому що вторинні параметри є цілком функціями первинних параметрів, то, отже, вони залежать від тих же причин, що й первинні параметри, а саме від розмірів і матеріалу провідників, типу ізоляції, температури й частоти струму.

 

Хвильовий опір визначається відношенням напруги до струму в будь-якій точці кола й виражається через первинні параметри по формулі:

Одиниця розмірності - Ом. (1.7)

Активний опір R виражене в Ом/км, індуктивність L - у Г/км, ємність С -у Ф/км і провідність G - у См/км.

У загальному вигляді хвильовий опір є комплексною величиною. Для всіх однорідних ланцюгів R/L > G/C, тому кут хвильового опору негативний.

При R£wL і G£w З, тобто для частот понад 5 ¸ 10 кГц, хвильовий опір визначається по наступній спрощеній формулі:

(1.8)

Хвильовий опір кола залежить в основному від первинних параметрів L і С. Робоча ємність кола С для заданої конструкції пари (діаметр провідників, відстань між ними й тип ізоляції) є постійною величиною, а індуктивність кола L залежить від частоти.

 

Коефіцієнт поширення g характеризує зміна потужності електромагнітної хвилі при поширенні її по лінії й зміну фази напруги й струми уздовж лінії. Коефіцієнт поширення є комплексною величиною, причому дійсна складова α визначає загасання, тобто зменшення напруги й струму на одиницю довжини кола, а уявна складова b характеризує величину зміни фази напруги й струму на одиницю довжини лінії.

Коефіцієнт поширення через первинні параметри виражається формулою:

(1.9)

де a виражається в Нп/км (1Нп = 8,69дБ) і b - у рад/км.

Звичайно коефіцієнт поширення g визначають на 1км кола. Загасання кола на 1км (α) називають коефіцієнтом загасання, а зсув фази на 1км (b) - коефіцієнтом фази.

Коефіцієнти загасання й фази залежать від частоти й від температури. Для діапазону високих частот коефіцієнт загасання a, дБ/км, визначається по наступній спрощеній формулі:

(1.10)

 

Коефіцієнт загасання a_t, дБ/км, залежить від температури:

(1.11)

де a_t - коефіцієнт загасання при температурі t °C; a₂₀ - коефіцієнт загасання при температурі 20°C; a_а - температурний коефіцієнт загасання.

Температурний коефіцієнт загасання a_а характеризує зміна згасання при зміні температури на 1°С і залежить від частоти струму. У діапазоні частот приблизно до 10 кГц він зростає, а потім зменшується й прямує до величини a_R /2 (a_R - температурний коефіцієнт опору при постійному струмі).

Коефіцієнт фази b рад/км, визначається по формулі:

(1.12)

Коефіцієнт фази b залежить від первинних параметрів L і Cпрямопропорційний частоті f.

Швидкість поширення v, км/с, електромагнітних хвиль уздовж кола визначається формулою:

(1.13)

Швидкість поширення електромагнітної хвилі залежить від первинних параметрів L, С и частоти струму. Зі збільшенням частоти швидкість збільшується й в межі (при нескінченно великій частоті) прагне до величини , де c = 300000 км/с швидкість світла; e_е - еквівалентна величина діелектричної проникності ізоляції. При e_е =1,30 (кордельно-полістирольна ізоляція) км/с, а при e_е =2 (суцільна поліетиленова ізоляція) км/с.

 

Довжина хвилі λ, м – відстань між ближніми точками кола, в яких фази напруженості або струму в любий момент часу відрізняється на 2π, знаходиться за формулою

де ƒ- частота струму, Гц.

 

 

13 Поверхневий ефект. Причина явища.

 

Опір провідника при постійному струму визначається за формулою
. Це опір можна також визначити, знаючи величину постійного струму I і потужність Р:

Виявляється, що в колі змінного струму опір R того ж провідника більше опору при постійному струму: R > Rо

Цей опір (R) на відміну від опору при постійному струму (Rо) носить назву активного опору. Збільшення опору провідника пояснюється тим, що при змінному струмі щільність струму не однакова в різних точках поперечного перерізу провідника. Уповерхності провідника щільність струму виходить більше, ніж при постійному струмі, а у центрі менше.

При високій частоті нерівномірність проявляється так різко, що щільність струму в значній центральній частині перетину провідника практично дорівнює нулю, струм проходить тільки в поверхневому шарі, тому це явище і отримало назву поверхневого ефекту.

Таким чином, поверхневий ефект призводить до зменшення перетину провідника, по якому проходить струм (активного перерізу), і, отже, до збільшення його опору в порівнянні з опором постійному струму.

Для пояснення причини виникнення поверхневого ефекту представимо циліндричний провід (рис. 1) який складається з великої кількості елементарних провідників однакового перетину, прилеглих впритул один до одного і розташованих концентричними шарами. Опір цих провідників постійному струму, знайдені за формулою будуть однакові.

Рис. 1. Магнітне поле циліндричного провідника.

При змінному електричному струмі навколо кожного провідника створюється змінне магнітне поле (рис. 1). Очевидно, елементарний провідник, розташований ближче до осі, охоплюється більшим магнітним потоком провідник, розташований біля поверхні провідника, тому перший має більшу індуктивність і індуктивний опір, ніж другий. При однаковій напрузі на кінцях елементарних провідників довжиною l, розташованих у осі і на поверхні, щільність струму в перших менше, ніж у других. Різниця в щільності струму у осі і на периферії дроту зростає із збільшенням діаметру дроту (d), провідності матеріалу (γ), магнітної проникності матеріалу (μ) і частоти змінного тока (f). Відношення активного опору провідника (R) до його опору при постійному струмі Rо називається коефіцієнтом поверхневого ефекту і позначається буквою ξ (ксі), отже, коефіцієнт ξ можна визначити за графіком (рис. 2), на якому представлена ​​залежність ξ від d і .

Рис. 2. Графік для визначення коефіцієнта поверхневого ефекту.

 

При обчисленні цього виразу слід виражати d в см, γ - в 1/ом-см, μо - в гн / см і f = в гц.