Спектр Фур'є неперервних та дискретних сигналів.

 

Нехай – неперервний сигнал, що задовольняє умові . Сигнал у цьому випадку може бути представлений у вигляді інтегрального розкладання по системі комплексних синусоїдальних функцій – інтеграла Фур'є:

. (1.1)

де – комплексна функція, що визначає амплітуду та фазову затримку комплексної синусоїди із частотою : . У загальному випадку ця функція визначена на всій осі частот і називається вона Фур'є-спектром сигналу .

У свою чергу Фур'є-спектр може бути отриманий з вихідного сигналу за допомогою співвідношення:

(1.2)

Співвідношення (1.1), (1.2) являють собою пари інтегральних перетворень Фур'є, причому (1.2) – пряме перетворення Фур'є, (1.1) – іобернене перетворення Фур'є.

Відмітимо, що сигнал и Фур'є-спектр – дві взаємнооднозначні характеристики, перша є часовим представленням сигналу, друга – частотним. Часове представлення більш наочне та звичне для повсякденного сприйняття, друге – менш наочне, але винятково корисне при математичному описі перетворень сигналів у лінійних системах з постійними параметрами.

Основні властивості Фур'є-спектра :

1. Функція в загальному випадку є комплексною:

.

Функцію називають амплітудним спектром (іноді магнітудою спектра), вона визначає дійсну амплітуду синусоїди із частотою , що приймає участь у формуванні сигналу. Функцію називають фазовим спектром, вона показує фазовий зсув, якому варто піддати комплексну синусоїду частоти перед підсумовуванням при відновленні вихідного сигналу.

2. Внаслідок дійсності сигналу функція має комплексно-спряжену симетрію

,

,

3. Енергія спектра Фур'є обмежена й дорівнює енергії вихідного сигналу (рівність Парсеваля):

У теорії безперервних лінійних систем з постійними параметрами широко використовується поняття перетворення Лапласа (s - перетворення):

, (1.3)

функції, визначеної на комплексної s- площині: .

При цьому пряме перетворення Фур'є (1.2) може розглядатися як перетворення Лапласа, обчислене на уявній осі в s-площині:

.

У зв'язку із цим, у літературі часто можна зустріти позначення для Фур'є-спектра – , в якому є вказівка на те, що це спектр саме неперервного сигналу.

В теорії дискретних лінійних систем замість s-перетворення Лапласа широко використовується поняття Z-перетворення дискретного сигналу

(1.4)

Z-перетворення має сенс, для тих значень комплексної змінної z, при яких ряд (1.4) збігається.

Z-перетворення лінійне, завдяки чому воно успішно використовується при описі лінійних дискретних систем. Вихідна послідовність може бути відновлена за допомогою оберненого Z - перетворення:

 

,

де С – замкнутий контур, що охоплює все особливі точки функції .

Спектр Фур'є дискретних сигналів. Спектром Фур'є послідовності називають комплексну функцію

(1.5)

(1.6)

Вираз (1.6) показує, як вихідна послідовність може бути зібрана з дискретизованих комплексних синусоїд різних частот, узятих з вагами . Порівняння (1.5) з (1.4) показує, що спектр Фур'є – є просто Z-перетворенням, обчисленим на одиничній окружності в комплексній Z-площині. Властивості спектра Фур'є дискретних сигналів подібні до властивостей спектра Фур'є неперервних сигналів. Однак є принципова відмінність. Спектр періодичний по частоті з періодом . Тому його значення розглядають на одному періоді – або , або .

 

Z - перетворення.

Ефективність частотного аналізу дискретних сигналів істотно зростає, якщо замінити перетворення Лапласа Z - перетворенням. У цьому випадку зображення сигналу X (p), яке представляє собою трансцендентну функцію змінної P = d + jw, замінюється Z - зображенням сигналу X (Z), яке є раціональною функцією змінної Z = x + jy.

Формули Z - перетворення виходять з формули Лапласа (1.6) заміною змінних

epT = Z. (1.7)

Підстановка (1.7) та її похідної

dZ / dp = TepT

в (1.6) приводить до формул прямого і зворотного Z - перетворення

(1.8)

Точки на уявної осі комплексного змінного p = d + jw, тобто точки p = jw, визначають реально частотні характеристики сигналу. Уявної осі відповідає на площині Z одиничне коло, тому що в цьому випадку згідно (1.7)

Z = ejwT = (1.9)

Тому безперервного росту змінної на уявної осі площині p = d + jw, відповідає багаторазовий обхід одиничному колі на площині z = x + jy (Мал. 1.4). Цим фактом пояснюється, зокрема, та обставина, що інтегрування у формулі зворотного z - перетворення (1.8) здійснюється уздовж одиничному колі площині z замість інтегрування уздовж прямої паралельної уявної площини p.

Враховуючи вищевикладене та формули (1.7), (1.9) можна стверджувати, що ліва полуплоскость змінного p = d + jw відображається на площину одиничного кола змінного z = x + jy, права полуплоскость - на площину z за межами одиничного кола.

Підстановка (1.9) в z - зображення сигналу призводить до спектру цього сигналу, підстановка (1.7) дає зображення по Лапласа.

Приклад. Визначити спектр та побудувати графіки модуля й аргументу спектральної щільності сигналу x (nT) = {a; b} (Мал. 1.5, а).

Рішення.

Z - зображення сигналу згідно (1.8)

X (Z) = x (nT) Zn = x (0T) Z-0 + x (1T) Z-1 = a + bZ-1

Звідси підстановкою (1.9) визначаємо спектр сигналу

X (jw) = a + be-jwT.

Графіки модуля й аргументу спектральної щільності наведені на малюнку 1.6, а, б на інтервалі частот [0; wд].

Поза інтервалу частот [0; wд] частотні залежності повторюються з періодом wд.