Лінійні блокові систематичні коди, генеруючи та перебіркова матриця.

Лінійні блокові систематичні коди, генеруючи та перебіркова матриця.

 

Для зменшення кількості помилок, що виникають при передачі інформації по каналу із завадами використовується кодування каналу або завадостійке кодування.

Існують 2 великих класи коректуючих кодів: блокові і згорткові.

Кодер каналу перетворює блоки повідомлення у більш довгі двійкові послідовності, які називаються кодовими словами. Символи, що додаються до кожного блоку повідомлення кодером називаються надлишковими. Вони не несуть ніякої надлишкової інформації, а їх функція полягає у забезпеченні можливості виявлення та (або) виправленя помилки,, що виникає в процесі передачі. Блочне кодування зручно використовувати у тих випадках, коли вихідні дані за своєю природою уже згруповані в будь-які блоки або масиви.

Блокові коди складаются:

 

 

к - кількість інформаційних бітів

n-k - кількість надлишкових бітів

Блокові коди володіють властивістю лінійності, яка означає, що сума двох кодових слів є кодовим словом даного блокового коду. І навпаки, будь-яке кодове слово може бути представлене у вигляді лінійної комбінації інших кодових слів даного блокового коду.

Систематичність блокового коду полягає в тому, що у кодовій послідовності на її початку або в кінці міститься інформація повідомлення.

 

 

Інтерактивний код:

Допустимо що необхідно закодувати 9 символів повідомлення: m₁, m₂, m₃, m₄, m₅, m₆, m₇, m₈, m_9.

Розставимо ці символи у вигляді квадратної таблиці.

m1	m2	m3	p1= m1+ m2+ m3
m4	m5	m6	p2= m4+ m5+ m6
m7	m8	m9	p3= m7+ m8+ m9
p4= m1+ m4+ m7	p5= m2+ m5+ m8	p6= m3+ m6+ m9	p7= m1+ m2+….+m9

 

Інформаційному каналу повідомлення ставиться у відповідність кодове слово з використанням так званої генеруючої матриці, елементами якої є двійкові символи 1 або 0. U₁= m₁, U₂= m₂ , U₃= m₃, U₄= m₁+ m₂+ m₃

Таке використання є не зручним тому вдаються до матричного представлення алгебраїчних рівнянь. Генеруючи матриця складається із інформаційної та перебіркової матриці.

 

Перебіркова підматриця Інформаційна під матриця

розмір. k, n-k розм. k´k

 

 

k - кількість інформаційних біт

n-k - кількість додаткових біт

n´k матриця

(n,k)код

Лінійні блокові коди характеризуються двома числами: n - вихід k - вхід - ступінь кодування

 

Циклічні коди

Циклічні коди одержали досить широке застосування завдяки їхній ефективності при виявленні і виправленні помилок. Схеми кодувальних і декодувальних пристроїв для цих кодів надзвичайно прості і будуються на основі звичайних регістрів зсуву.

Назва кодів пішла від їх властивості, яка полягає в тому, що кожна кодова комбінація може бути отримана шляхом циклічної перестановки символів комбінації, що належить до цього ж коду. Це значить, що якщо, наприклад, комбінація а⁰а¹a²...а^п-1 є дозволеною комбінацією циклічного коду, то комбінація а^п-1a⁰a¹a²...a^n-2 також належить цьому кодові.

Циклічні коди зручно розглядати, подаючи комбінацію двійкового коду не у вигляді послідовностей нулів і одиниць, а у вигляді полінома від фіктивної змінної х

, (5.5)

де a_i – цифри даної системи числення (у двійковій системі 0 і 1).

Найбільший степінь х з ненульовим коефіцієнтом а називається степенем полінома.

Подання кодових комбінацій у формі (5.5) дозволяє звести дії над комбінаціями до дії над многочленами. При цьому додавання двійкових многочленів зводиться до додавання за модулем два коефіцієнтів при рівних степенях змінної х; множення та ділення здійснюється за звичайними правилами множення та ділення логічних функцій, отримані при цьому коефіцієнти при рівних степенях змінної х додаються за модулем два.

Подання комбінацій за формулою (5.5) зручно ще і тим, що згадана раніше циклічна перестановка є результат простого множення даного полінома на х. Дійсно, якщо одна з кодових комбінацій виражається поліномом

V (х) = = а0 + а1х + а2х2 +... ап-1х п-1,

то нова комбінація за рахунок циклічного зсуву буде

х · V (х) == а₀x + а₁x² + а₂x³+... + a_n-2x^n-1+ a_n-1xⁿ.

Однак в останньому члені необхідно замінити хn на 1. Отже, нова комбінація буде

.

Відповідно до визначення циклічного коду для побудови породжувальної матриці P_{n, k} досить вибрати тільки одну вихідну п -розрядну комбінацію V_i(х). Циклічним зсувом можна одержати (п - 1) різних комбінацій, із котрих будь-які k комбінацій можуть бути взяті як вихідні. Підсумовуючи рядки породжувальної матриці у всіх можливих комбінаціях, можна одержати інші кодові комбінації. Можна показати, що кодові комбінації, одержані з деякої комбінації V_i (х) циклічним зсувом, задовольняють умови, запропоновані до сукупності вихідних комбінацій.

Циклічний зсув комбінації з одиницею в старшому n-му розряді тотожний множенню відповідного многочлена на х з одночасним відніманням від результату многочлена (хⁿ - 1) або (хⁿ + 1), тому що операції здійснюються за модулем два. Отже, якщо як вихідний взяти деякий поліном Р(х), то процес одержання базових поліномів можна подати в такому вигляді:

де C₂, C₃,..., С_n – коефіцієнти, що приймають значення 1 при Р(х)·х^i (хⁿ-1) і значення 0 при Р(х)·хⁱ< (хⁿ-1).

При такому способі побудови базових поліномів поліном Р(х) називають утворюючим.

Якщо прийняти умову, що поліном Р(х) є дільником двочлена (хⁿ + 1), то базові комбінації, а разом із ними і всі дозволені комбінації коду, набувають властивості подільності на Р(х). З цього випливає, що належність кодової комбінації до групи дозволених можна легко перевірити розподілом її полінома на утворюючий поліном Р(х). Якщо залишок від розподілу дорівнює нулю, то комбінація є дозволеною.

Ця властивість циклічного коду використовується для виявлення або виправлення помилок. Дійсно, якщо під впливом завад дозволена кодова комбінація трансформується в заборонену, то помилка може бути виявлена за наявністю залишку при розподілі комбінації на утворюючий поліном Р(х).

Таким чином утворюючий поліном Р(х) повинен задовольняти вимогу – він повинен бути дільником двочлена (хⁿ +1). Вибір Р(х) однозначно визначає циклічний код і його коригувальні властивості.

Циклічний (п, А)-код може бути отриманий шляхом множення простого А-значного коду, вираженого у вигляді полінома степеня (k - 1), на деякий утворюючий поліном Р(х) степеня (n - k).

Можлива й інша процедура одержання циклічного коду. Для цього кодова комбінація простого k -значного коду G(х) збільшується на одночлен х^n-k, а потім ділиться на утворюючий поліном Р(х) степеня (п-k). У результаті множення G(х) на х^n-k степінь кожного одночлена, що входить у G(х), підвищиться на (п - k). При діленні добутку х^n-kG(х) на утворюючий поліном Р(х) утвориться частка Q(х) такого ж степеня, як і G(х).

Результат множення і ділення можна подати в такому вигляді:

,

де R(х) – залишок від ділення х^n-kG(х) на Р(х).

Оскільки частка Q(х) має такий ж степінь, як і кодова комбінація G(x), то Q(х) також є комбінацією простого k -значного коду.

Таким чином, кодова комбінація циклічного (п, k)-коду може бути отримана двома способами:

1) шляхом множення простої кодової комбінації степеня (k - 1) на одночлен x^n-k і додавання до цього добутку залишку, отриманого від ділення отриманого добутку на утворюючий поліном Р(х) степеня (п - k),

2) шляхом множення простої кодової комбінації степеня (k - 1) на утворюючий поліном Р(х) степеня (п – k).

Згідно з першим способом кодування перших k символів отриманої кодової комбінації збігаються з відповідними символами вихідної простої кодової комбінації.

Згідно з другим способом в отриманій кодовій комбінації інформаційні символи не завжди збігаються із символами вихідної простої комбінації. Такий спосіб легко реалізовується, але внаслідок того, що в отриманих кодових комбінаціях не містяться інформаційні символи в явному вигляді, ускладнюється процес декодування.

У зв'язку з вищевикладеним на практиці звичайно використовується перший спосіб одержання циклічного коду.

Вибір утворюючого полінома

При побудові циклічного коду спочатку визначається число інформаційних розрядів k за заданим об’ємом коду. Потім знаходиться найменша довжина кодових комбінацій n, що забезпечує виявлення або виправлення помилок заданої кратності. Ця проблема зводиться до перебування потрібного утворюючого полінома Р(х).

Як уже відзначалося раніше, степінь утворюючого полінома повинен дорівнювати числу перевірних розрядів .

Оскільки в циклічному коді розпізнювачами помилок є залишки від ділення многочлена прийнятої комбінації на утворюючий коректувальний многочлен, то спроможність коду буде тим вища, чим більше залишків може бути утворено в результаті цього ділення.

Найбільше число залишків, що дорівнює 2-1 (крім нульового), може забезпечити тільки многочлен порядка степеня , що не ділиться ні на який інший многочлен.

Відомо, що двочлен типу (хⁿ + 1) = (х^2z-1 + 1), у розкладанні якого як співмножник повинен входити утворюючий многочлен, має ту властивість, що він є спільним кратним для усіх без винятку незвідних поліномів степеня n і розкладається на множники з усіх незвідних поліномів степеня 2, які діляться без залишку на число z.

Найпростішим циклічним кодом є код, що забезпечує виявлення однократних помилок. Вектору однократної помилки відповідає одночлен xⁱ, степінь котрого i може приймати значення від 1 до п. Для того щоб могла бути виявлена помилка, одночлен xⁱ не повинен ділитися на утворюючий поліном Р(х). Серед незвідних многочленів, що входять у розкладання двочлена хⁿ + 1, є багаточлен найменшого степеня х + 1. Таким чином утворюючим поліномом даного коду є двочлен Р(х) = х + 1. Залишок від ділення будь-якого многочлена на х + 1 може приймати тільки два значення: 0 і 1. Отже, при будь-якому числі інформаційних розрядів необхідний тільки один перевірний розряд. Значення символу цього розряду забезпечує парність числа одиниць у кодовій комбінації.

Даний циклічний код із перевіркою на парність забезпечує виявлення не тільки однократних помилок, але і всіх помилок непарної кратності.

Для побудови циклічного коду, що виправляє однократні або виявляє дворазові помилки, необхідно, щоб кожній одиничній помилці відповідав свій розпізнавач, тобто залишок від ділення многочлена прийнятої комбінації на утворюючий многочлен. Оскільки кількість можливих однократних помилок дорівнює п, а незвідний многочлен степеня може дати 2 - 1 ненульових залишків, то необхідною умовою виправлення будь-якої одиничної помилки є виконання нерівності

.

Звідси знаходять степінь утворюючого полінома

(5.6)

і загальну довжину п кодової комбінації.

Оскільки утворюючий многочлен Р(х) повинен входити як співмножник в розкладання двочлена (хⁿ + 1) = (х^2z-1 + 1), то використовуючи відзначені раніше властивості цього двочлена, а також умову (5.6), можна вибрати утворюючий поліном.

Однак не всякий мнгочлен степеня , що входить у розкладання двочлена хⁿ + 1, може бути використаний як утворюючий поліном. Необхідно, щоб для кожної із п однократних помилок забезпечувався свій, відмінний від інших, залишок від розподілу прийнятої кодової комбінації на утворюючий поліном. Це буде мати місце за умови, якщо обраний незвідний многочлен степеня , будучи дільником двочлена хⁿ + 1, не входить у розкладання ніякого іншого двочлена х^і + 1, степінь якого і < п.

Утворюючі поліноми кодів, які здатні виправляти помилки будь-якої кратності, можна визначати, користуючись таким правилом Хеммінга.

1. За заданим числом інформаційних розрядів k визначається число перевірних розрядів , необхідне для виправлення однократних помилок, і знаходиться утворюючий поліном.

2. Розглядаючи отриманий (n, k)-код і некоректуючий n-розрядний код визначають додаткові розряди для забезпечення виправлення однієї помилки в цьому коді і знаходять відповідний утворюючий поліном.

3. Повторюється дана процедура стільки разів, поки не буде отриманий код, що виправляє незалежні помилки до даної кратності включно.

Закодувати просту інформаційну групу G(х) = 1011 циклічним кодом, що забезпечує виявлення дворазових або усунення однократних помилок.

Розв’язання. За заданою кількістю інформаційних символів k = 4

визначаємо значність коду. Користуючись співвідношенням (5.6) і табл. 5.1, отримаємо n = 3,2.

Для побудови циклічного коду необхідно вибрати утворюючий поліном Р(х) степеня = n – k = 3, що повинен входити як співмножник, а для розкладання двочлена хⁿ + 1= х^2z-1 - 1. В нашому випадку цей двочлен має вигляд х⁷+1. Складові його співмножники повинні бути незвідними поліномами, степені яких є дільниками числа z = 3. Отже, співмножниками двочлена х⁷+ 1 повинні бути незвідні поліноми першого і третього степенів. Користуючись таблицями незвідних поліномів отримаємо

.

Вибираємо як утворюючий поліном співмножник

.

Кодування здійснюємо першим способом. Для цього вихідну кодову комбінацію G(х) множимо на x^n-k=x³

.

Визначаємо залишок R(х) від розподілу х^n-k G(х) на утворюючий багаточлен Р(х):

Залишок R(x) = х².

Отже, поліном F(х) циклічного коду буде мати вигляд

.

Отримане повідомлення циклічним кодом Р*(х) = х⁶+ х⁴ + х³ + х². Перевірити декодуванням наявність помилок у прийнятій комбінації, якщо утворюючий поліном Р(х) == х³ + х² +1.

Розв’язання. Декодування здійснюється діленням полінома отриманої комбінації на утворюючий поліном

.

Залишок від розподілу R(х) = 0. Отже, комбінація прийнята без перекручувань.

 

Отримана комбінація P*(х) = х⁶ + х⁴ + х² + 1, закодована циклічним кодом. Утворюючий поліном Р(х) = х3 + х2 + 1. Перевірити наявність помилок у кодовій комбінації.

Розв’язання. Ділимо поліном отриманої комбінації на утворюючий поліном

.

залишок – R(х) = х^2 0. Отже, комбінація прийнята з помилками.

Побудувати породжувальну матрицю циклічного коду при n = 7;
k = 4. Утворюючий поліном Р(х) = х² + х + 1.

Розв’язання. Оскільки k = 4, інформаційна підматриця має вигляд

.

Для одержання першого рядка додаткової підматриці множимо перший рядок інформаційної підматриці на x³. Ділимо на утворюючий поліном, тобто виконуємо операції . Залишок від цих операцій 011 складає перший рядок додаткової підматриці. Аналогічно визначаємо інші рядки додаткової підматриці. Додаткова підматриця має вигляд:

.

Остаточно одержимо таку породжувальну матрицю:

.

Для побудови породжувальної матриці другим способом перший рядок матриці одержуємо шляхом множення утворюючого полінома на
x^k-1: Р(х)·x^k-1 =1011 · 1000 = 1011000. Наступні рядки матриці отримаємо шляхом циклічного зміщення отриманої комбінації. Таким чином породжувальна матриця

.

 

Згорткові коди.

Згорткові коди відносяться до безперервних рекурентних кодів. Кодове слово є згорткою відгуку лінійної системи (кодера) на вхідну інформаційну послідовність. Тому згорткові коди є лінійними, для яких сума будь-яких кодових слів також є кодовою послідовністю.

Розглянемо згортковий код з швидкостями вигляду , де - деяке натуральне число.Послідовність символів такого згорткового коду складається з елементарних блоків завдовжки , причому символів поточного блоку (що займають реальний час, що відповідає одному інформаційному біту) є лінійною комбінацією поточного інформаційного біта і m попередніх. Значення m визначає пам'ять коду, а параметр m + 1 називається довжиною кодового обмеження. Якщо один (наприклад, перший) з символів поточного блоку повторює поточний інформаційний біт, код називається систематичним.

Кодер загорткового коду містить тактований регістр памяті для збереження визначеного числа інформаційних символів і перетворювач вхідної інформаційної послідовності у вихідну кодову послідовність. Структурна схема кодера ЗК (7.5) зображена на рисунку 1.3.

 

Рис.1.3 – Структурна схема кодера

 

Послідовність кодування детально розписана в таблиці 1.

Таблиця 1 - Процес кодування послідовності інформаційних бітів 01101000

 

Способи задання згорткових кодів багато в чому збігаються з використовуваними для лінійних блокових. Одним з основних є опис згорткового коду набором многочленів. Кожен многочлен встановлює закон формування одного з символів в групі і має міру, що не перевищує m. Ненульові коефіцієнти полінома, що створюються, прямо вказують, які з інформаційних символів (включаючи поточний і m попередніх) входять в лінійну комбінацію, що дає даний символ коду.

Кодові грати цього коду показані на мал. 1.1. При його складанні враховано, що кодер містить пам'ять у вигляді дворозрядного регістра. Кожному з чотирьох можливих станів цього регістра відповідає один з чотирьох вузлів решітки. Тому лівий символ в позначенні вузла дорівнює останньому інформаційному біту, вже записаному в регістр. При записі в регістр чергового інформаційного символу регістр міняє стан на одне з двох сусідніх. Цей перехід позначений ребрами грат. Порядок вузлів вибраний таким, що при нульовому поточному інформаційному символі (а=0) перехід в наступний стан відповідає верхньому ребру, а при = 1 - нижньому.

Рисунок 1.1 - Кодові грати

 

Кожній інформаційній послідовності відповідає певний шлях на кодових гратах і кодова послідовність. Наприклад, вхідним інформаційним бітам 01100 відповідає кодове слово 00 11 01 01 11, якому відповідає на мал. 1.1 шлях, відмічений жирною лінією.

Відомий ряд алгоритмів декодування згортальних кодів. У практичних системах і, зокрема в мобільному зв'язку, як правило, використовується алгоритм Вітербі, що відрізняється простотою реалізації при помірних довжинах кодового обмеження.

Алгоритм Вітербі реалізує оптимальне (максимально правдоподібне) декодування як рекурентний пошук на кодовой гратах шляху, найближчого до послідовності, що приймається. На кожній ітерації алгоритму Вітербі зіставляються два шляхи, що ведуть в даний стан (вузол грат). Найближчий з них до прийнятої послідовності зберігається для подальшого аналізу. Нехай передається нульове кодове слово, а в каналі виникла трикратна помилка, так що прийнята послідовність має вигляд 10 10 00 00 10 00... 00.... Результати пошуку найближчої дороги після прийому 14 елементарних блоків показані на рисунку 1.2.

 

Рисунок 1.2 - Приклад роботи алгоритму Вітербі

 

 

Імпульсно-кодова модуляція

І́мпульсно-ко́дова модуля́ція ---- використовується для оцифровки аналогових сигналів перед їхньою передачею. Практично всі види аналогових даних (відео, голос, музика, дані телеметрії, віртуальні мири) допускають застосування імпульсно-кодовій модуляції.

 

Щоб одержати на вході каналу зв'язку (передавальний кінець) ІК-модульований сигнал з аналогового, амплітуда аналогового сигналу вимірюється через рівні проміжки часу. Кількість оцифрованих значень у секунду (або швидкість оцифрування) кратна максимальній частоті (Гц) у спектрі аналогового сигналу. Миттєве обмірюване значення аналогового сигналу округляється до найближчого рівня з декількох заздалегідь певних значень. Цей процес називається квантуванням, а кількість рівнів завжди береться кратним ступеню двійки, наприклад, 8, 16, 32 або 64. Номер рівня може бути відповідно представлений 3, 4, 5 або 6 бітами. Таким чином, на виході модулятора виходить набір бітів (0 або 1).

 

На прийомному кінці каналу зв'язку демодулятор перетворює послідовність бітів в імпульси з тим же рівнем квантування, що використав модулятор. Далі ці імпульси використовуються для відновлення аналогового сигналу.

 

Різновидами ІКМ є:

Диференціальна (або дельта) імпульсно-кодова модуляція (ДІКМ) кодує сигнал у вигляді різниці між поточним і попереднім значенням. Для звукових даних такий тип модуляції зменшує необхідну кількість біт на відлік приблизно на 25%.

Адаптивна ДІКМ (АДІКМ) є різновидом ДІКМ, що змінює рівень кроку квантування, що дозволяє ще більше зменшити вимоги до смуги пропускання при заданому відношенні сигналу і шуму.

 

Импульсно-кодовая модуляция

 

Передача квантованных значений сигнала с помощью коротких импульсов различной высоты называется амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ). Под импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ) понимается передача непрерывных функций при помощи двоичного кода.

 

При кодовой модуляции необходимо передать числа, выражающие величину квантованных отсчетов. Для этого можно воспользоваться двоичным кодом. Числа, подлежащие передаче, надо записать в двоичной системе счисления – это и даст необходимые кодовые комбинации. При помощи n - значных двоичных чисел можно представить чисел. Благодаря квантованию количество чисел, подлежащих передаче, сводится до конечной величины. Если принять шаг квантования за единицу, то будет означать наибольшее квантованное значение. Количество знаков в двоичной кодовой комбинации равно. Если n – не целое, то оно округляется до ближайшего целого числа. На рис.3 показаны преобразования аналогового сигнала (а) в АИМ (б) и ИКМ (в) для n = 4.

Рис. 3

 

При выборе шага квантования (или числа N) следует учитывать два фактора. С одной стороны, увеличение числа ступеней квантования увеличивает точность передачи сигнала, с другой – требует удлинения кодовой комбинации (n). Так для телефонной передачи установлено, что удовлетворительное качество передачи достигается при , т.е. при семизначном коде.

 

При анализе приема сигналов с импульсно-кодовой модуляцией обычно рассматривают не отношение средних мощностей сигнала и помехи, а отношение половины шага квантования (цена округления) к среднеквадратичному значению помехи . Квадрат отношения

 

заменяет отношение сигнал – шум.

 

Пусть число уровней квантования равно N. Будем передавать каждое из N значений n-значным кодовым числом, составленным из импульсов, квантованных на m уровней (АИМ). Общее число возможных комбинаций равно . Очевидно, что . Пусть шкала уровней симметрична относительно нуля, т. е. разрешенными являются уровни:

 

Если все уровни равновероятны, средняя мощность сигнала равна

Отсюда шаг квантования равен

 

откуда

 

Таким образом, при неизменных мощностях сигнала и помехи выгодно уменьшать основание кода. Наименьшее значение m равно 2 (двоичный код), что соответствует ИКМ. В этом случае т.е. введенная величина совпадает с обычным определением отношения сигнал – помеха.

 

В обычной АИМ N=m >>1, и в этом случае

 

 

Следовательно, ИКМ дает выигрыш в отношении сигнал – помеха в раз.

 

Какой же ценой достигается этот выигрыш? Если при АИМ за каждый тактовый интервал (отсчет) передается один импульс, то при ИКМ за тот же интервал должны быть переданы n импульсов. При неизменной скважности каждый из этих n импульсов в n раз короче (см. рис. 3), а, следовательно, ширина спектра сигнала в n раз больше, чем ширина спектра сигнала АИМ. Таким образом, за увеличение отношения сигнал – помеха мы расплачиваемся расширением полосы.

Приклад

Визначити, стійка чи рекурсивна ЛДС, імпульсна характеристика (IX) якої має вид дискретної експоненти

Рішення. Підставивши дану IХ в (4.25), отримаємо ряд типу (3.20)

(4.27)

при q= область його збіжності .

У цій області імпульсна характеристика має вигляд затухаючої експоненти, а ЛДС, згідно критерію (4.25), є стійкою.

Поза області збіжності, при | a | 1, ряд (4.27) виявляється розбіжним

а ЛДС, згідно критерію (4.25), нестійкою.

 

Узагальнюючи даний результат, можна зробити наступні висновки:

- Рекурсивні ЛДС (БИХ-системи) вимагають перевірки на стійкість;

- Імпульсна характеристика стійкою рекурсивної ЛДС має характер затухаючої функції часу.

Z - перетворення.

Ефективність частотного аналізу дискретних сигналів істотно зростає, якщо замінити перетворення Лапласа Z - перетворенням. У цьому випадку зображення сигналу X (p), яке представляє собою трансцендентну функцію змінної P = d + jw, замінюється Z - зображенням сигналу X (Z), яке є раціональною функцією змінної Z = x + jy.

Формули Z - перетворення виходять з формули Лапласа (1.6) заміною змінних

epT = Z. (1.7)

Підстановка (1.7) та її похідної

dZ / dp = TepT

в (1.6) приводить до формул прямого і зворотного Z - перетворення

(1.8)

Точки на уявної осі комплексного змінного p = d + jw, тобто точки p = jw, визначають реально частотні характеристики сигналу. Уявної осі відповідає на площині Z одиничне коло, тому що в цьому випадку згідно (1.7)

Z = ejwT = (1.9)

Тому безперервного росту змінної на уявної осі площині p = d + jw, відповідає багаторазовий обхід одиничному колі на площині z = x + jy (Мал. 1.4). Цим фактом пояснюється, зокрема, та обставина, що інтегрування у формулі зворотного z - перетворення (1.8) здійснюється уздовж одиничному колі площині z замість інтегрування уздовж прямої паралельної уявної площини p.

Враховуючи вищевикладене та формули (1.7), (1.9) можна стверджувати, що ліва полуплоскость змінного p = d + jw відображається на площину одиничного кола змінного z = x + jy, права полуплоскость - на площину z за межами одиничного кола.

Підстановка (1.9) в z - зображення сигналу призводить до спектру цього сигналу, підстановка (1.7) дає зображення по Лапласа.

Приклад. Визначити спектр та побудувати графіки модуля й аргументу спектральної щільності сигналу x (nT) = {a; b} (Мал. 1.5, а).

Рішення.

Z - зображення сигналу згідно (1.8)

X (Z) = x (nT) Zn = x (0T) Z-0 + x (1T) Z-1 = a + bZ-1

Звідси підстановкою (1.9) визначаємо спектр сигналу

X (jw) = a + be-jwT.

Графіки модуля й аргументу спектральної щільності наведені на малюнку 1.6, а, б на інтервалі частот [0; wд].

Поза інтервалу частот [0; wд] частотні залежності повторюються з періодом wд.

Первинні параметри кола

Основними характеристиками, що визначають величину струму й напруги в кожній точці симетричного або коаксіального кола, є чотири первинних параметри передачі: активний електричний опір R, індуктивність L, ємність С та провідність ізоляції G. Ці параметри рівномірно розподілені по всій довжині кола. Отже, кабель зв'язку являє собою однорідну лінію з рівномірно розподіленими параметрами. У техніку кабелів зв'язку прийнято визначати всі параметри на 1 км довжини кола. Первинні параметри передачі кола (R, L, С и G) залежать від діаметра й матеріалу провідників, відстані між ними, типу ізоляції, температури й частоти струму.

Активний електричний опір кабельного кола складається з опорів двох струмопровідних жил і втрат, обумовлених впливом електромагнітного поля розглянутого кола на сусідні провідники й інші металеві частини конструкції кабелю (екран, металеву оболонку й ін.).

При розрахунку активного опору кабельного кола його зручно представляти у вигляді двох доданків: опору постійному струму й опору, викликаного зміною електромагнітного поля змінного струму.

Електричний опір кола постійному струму, Ом/км, визначається по формулі:

(1.1)

де r - питомий опір металу провідника, рівний для міді 0,0175 Ом×мм²/м і для алюмінію 0,0291 Ом×мм²/м; d - діаметр провідника, мм; l - довжина провідника, км; s — площа поперечного переріза провідника, мм².

Опір кола симетричного кабелю, викликаний зміною електромагнітного поля змінного струму залежить від частоти струму. Більшою мірою залежить від частоти опір жил. При проходженні по колі струму високої частоти усередині кожного провідника утворяться вихрові струми, які замикаються в товщі провідника по траєкторіях, схожим на еліпси. Напрямок вихрових струмів у провіднику завжди збігається з напрямком переданого на поверхні провідника струму. Таким чином, переданий струм витісняється із центра провідника на його поверхню.

 

З урахуванням всіх цих втрат активний опір кола R, Ом/км, при високій частоті визначається формулою:

(1.2)

 

де R₀ - електричний опір кола постійному струму; F - коефіцієнт, що враховує втрати в провіднику внаслідок поверхневого ефекту; Р - коефіцієнт, що враховує втрати в провідниках другої пари цієї ж четвірки; для зіркової скрутки Р = 5, для подвійної парної скрутки Р = 2; G_I - коефіцієнт, що враховує втрати в провіднику внаслідок ефекту близькості; Н - коефіцієнт, що враховує втрати в провіднику внаслідок повторної дії ефекту близькості; c - коефіцієнт спіральності скрутки c = 1,02; D R - додатковий опір внаслідок втрат на вихрові струми в сусідніх четвірках і металевій оболонці; а - відстань між центрами провідників, мм; d₀ - діаметр провідника, мм.

Цей додатковий опір визначається по наближеній формулі:

де f - частота, Гц; п - число четвірок у кабелі.

 

Також активний опір залежить від температури. Теоретично від температури залежать всі чотири первинних параметри, однак практично варто враховувати тільки вплив на величину активного опору, тому що зміна параметрів L, С и G від температури досить незначна (на один-два порядків нижче) і визначається температурними коефіцієнтами діелектрика.

Температурна залежність активного опору визначається по формулі:

(1.3)

де R, - опір кола (провідника) при температурі t °C; R₂₀- опір кола (провідника) при температурі 20 °С; a_R - температурний коефіцієнт опору, рівний для мідних провідників 0,004 і для алюмінієвих провідників 0,0037.

 

Індуктивність кабельного кола складається із внутрішньої індуктивності кожного провідника й зовнішньої індуктивності, обумовленої зовнішнім магнітним потоком. Величина магнітної проникності впливає на величину внутрішньопровідникової індуктивності жил, виготовлених з магнітних матеріалів (сталі, біметалічних сталь-мідь). Як правило, провідники для кабелів зв'язку виготовляються в основному мідні й в окремих випадках алюмінієві, тобто з діамагнітних матеріалів (m = 1). Індуктивність кола симетричного кабелю також залежить від частоти струму.

Індуктивність кола L, Г/км, при високій частоті дорівнює

(1.4)

де Q - коефіцієнт, що враховує витиснення магнітного поля із провідника внаслідок поверхневого ефекту; а - відстань між центрами провідників, мм.

 

Ємність кабельного кола аналогічна ємності конденсатора, у якого роль обкладок виконують струмопровідні жили (провідники), а діелектриком служить ізолюючий їх матеріал.

Ємність кабельного кола в кабельній техніці прийнято називати робочою ємністю, на відміну від часткових ємностей, тобто ємностей між будь-якими окремими жилами та жилами й оболонкою кабелю.

Робоча ємність С, Ф/км, симетричної пари визначається по формулі:

(1.5)

де e_Э - еквівалентна діелектрична проникність ізоляції; k - коефіцієнт скрутки; d₀ - діаметр струмопровідної жили, мм; d_r — діаметр групи жил, мм (для парної скрутки d_r = 1,65 d₁ а для зіркової скрутки d_r = 2,41 d₁; d₁