Умовна ймовірність 5.1. Залежні та незалежні випадкові події

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої. У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними.

Приклад 1. В урні міститься 10 однакових кульок, із них 6 чорних і 4 білих. З урни навмання беруть дві кульки по одній без повернення. З'ясувати, чи будуть залежними такі події: перша кулька виявиться чорною і друга також.

 

 

30

A

A

W

(

)

m

l

n

 

Розв'язання. Позначимо через А появу чорної кульки при першому вийманні, а через В — при другому. Випадкові події А і В будуть залежними, оскільки поява чорної кульки при першому її вийманні з урни (випадкова подія А) впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (випадкова подія В) при другому вийманні.

Приклад 2. З урни, де шість білих і чотири чорні кульки, вийняли дві кульки по одній, при цьому перша кулька в урну повертається.

З'ясувати, чи будуть залежними такі події: перша виявиться чорною, друга також.

Розв'язання. Нехай А — поява чорної кульки при першому вийманні, а В — при другому. Поява чорної кульки при першому вийманні (здійснилась подія А) не впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (подія В) при другому вийманні, оскільки співвідношення між чорними та білими кульками в цьому разі не змінюється.

 

Обчислення умовної ймовірності

 

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною. Ця ймовірність обчислюється за формулою

Р (А / В) = P (A I B). (2.7)

 

Формули ймовірностей добутку та суми випадкових подій

Згідно із (2.7) маємо:

 

P (A I B) = Р (В) Р (А / В) = Р (А) Р (В / А). (2.8)

 

Формула (2.8) має місце в загальному випадку. Якщо події А і В є незалежними то, за означенням, P (A / B) = Р (А). Для незалежних

 

подій з (2.8) випливає:

 

P (A I B) = Р (В) Р (А). (2.9)

 

31

B

P

)

(

 

Імовірність суми двох несумісних поді А і В є:

 

P (A U B) = Р (А) + Р (В). (2.10)

 

Імовірність суми двох сумісних поді А і В є:

 

P (A U B) = Р (А) + Р (В) − Р (А I В). (2.11)

 

 

7. Імовірність появи хоча б однієї випадкової події Нехай є n сумісних випадкових подій А, А,..., А. Позначимо

через A подію, яка полягає в тому, що з'явиться хоча б одна з цих подій. Тоді подія A це подія за якої жодна з подій не відбудеться. Подія A визначаєтьсяяк А = А 2... А. Події A та A утворюютьповну групу подій, тому

 

Р (А)+ Р (А) =1.

 

Звідси одержуємо

 

Р (А) =1− Р (А) =1− Р (А × А ×...× А) (2.12)

 

За цією формулою треба обчислювати імовірність появи хоча б однієї випадкової події з n сумісних подій.

 

Формула повної ймовірності

 

У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умови, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій В, В,... В, які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними, імовірність події А обчислюється за формулою:

 

P (A)= Р (В) Р (А / В 2 2)+...+ Р (В n). (2.13)

 

Яка називається формулою повної ймовірності.

 

Випадкові події В, В,... В називають гіпотезами.

 

Формула Байєса

 

Нехай в умовах задачі, що відноситься до формули повної ймовірності, провели одну спробу експерименту, в результаті якої відбулася подія А. Запитується: як змінилися (у зв'язку з тим, що подія

 

 

32

n

А

n

n

n

)+ Р (В

) Р (А / В

) Р (А / В

n

n

 

А уже відбулася) імовірності гіпотез, тобто величини Р (А / В), k = 1,....,n?

 

Знайдемо умовну імовірність Р (А / В). За теоремою добутку ймовірностей P (A I Bk) = Р (Bk) Р (А / Bk) = Р (А) Р (Bk / А) маємо:

k

k

=

k

k

,

Р (B) Р (А / B) k P (A)

 

(2.14)

 

де Р (А) обчислюється за формулою (2.13).

 

Формула (2.14) називається формулою Байєса (Томас Байєс, чи Бейєс (1702 – 1761), - англійський математик).

 

Питання для самоконтролю

 

1. В якому разі P(A/B) = 1?

 

2. Формула добутку ймовірностей для двох залежних випадкових подій А і В.

3. Чому дорівнює PçnAi÷, якщо випадкові події Аi є

èi=1 ø залежними?

4. Чому дорівнює Р (AÇB), якщо А і В є незалежними? 5. В якому разі P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B)?

6. Формула для обчислення появи випадкової події хоча б один раз при n незалежних експериментах має вигляд...

7. Гіпотези у формулі повної ймовірності та їх властивості.

 

8. Формула повної ймовірності випадкової події А за наявності n гіпотез Bi.

9. В якому разі використовується формула Байєса?

 

10.В якому разі обирається гіпотеза Bi для прийняття рішення при проведенні експерименту?

 

Література

 

 

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].