Центральна гранична теорема теорії ймовірностей

 

Нехай задано n незалежних випадкових величин Xi (i =1,2,..., n), кожна із яких має один і той самий закон розподілу

 

ймовірностей із M (Xi) = 0, s(Xi) =s і при цьому існує за абсолютною величиною початковий момент третього порядку n3,

n

тоді зі зростанням числа n закон розподілу Y = Xi наближається i =1

 

до нормального.

 

 

Питання для самоконтролю

 

1. Як сформулювати в загальному вигляді закон великих чисел? 2. Сформулювати нерівність Чебишова.

3. Сформулювати умови, які мають виконуватися для нерівності Чебишова.

4. Де використовується нерівність Чебишова. 5. Сформулювати теорему Чебишова.

6. Сформулювати центральну граничну теорему.

 

 

Література

 

 

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

 

61

æ

ö

n

n

ç

÷

ç

÷

n n

ç

÷

å

 

Тема 9. Елементи теорії випадкових процесів і теорії масового обслуговування

Мета роботи: розібрати поняття випадкового, Марковського процесів, процесу народження і загибелі.

План вивчення теми 1. Випадкові процеси.

2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова. 3. Процес народження і загибелі.

4. Елементи теорії масового обслуговування.

 

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи

 

 

Випадкові процеси

 

Теорія випадкових процесів є математичною наукою, що вивчає закономірності випадкових подій у їх динаміці. Ця теорія (за іншою термінологією — теорія випадкових функцій) вивчає процеси, розвиток яких наперед точно неможливо передбачити. Така невизначеність (непередбачуваність) зумовлена дією випадкових факторів на розвиток процесу.

Математичною моделлю випадкового процесу є певна функція X = X (t) від дійсного аргументу t, значення якої при кожному

 

фіксованому t є випадковою величиною. Саме поняття випадкового процесу (випадкової функції) є узагальнюючим поняттям випадкової

величини.

 

Отже, випадковим процесом X = X (t) називають такий процес,

 

коли при будь-якому можливому значенні t = ti випадкова функція X = X (ti) утворює випадкову величину.

При t = ti ми дістанемо випадкову величину, яку називають перерізом випадкового процесу. Чим більше перерізів буде розглянуто, тим детальніше уявлення ми будемо мати про випадковий процес.

Випадкові процеси можна класифікувати за тими чи іншими

 

 

62

 

ознаками.

 

Елементарною класифікацією випадкових процесів є класифікація за ознаками часу та стану. Випадковий процес називають процесом із дискретною змінною часу, якщо система, в якій він здійснюється, може змінювати свій стан тільки в моменти часу

t, t 2,... кількість яких є обмеженою, або зліченною.

 

 

2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова Серед випадкових процесів, що широко застосовуються для

створення стохастичних (імовірних) моделей, котрі описують процеси функціювання певних систем технічного, економічного, екологічного та соціального профілю, центральне місце належить марковським.

Випадковий процес X(t) називають марковським, якщо за будь-якого можливого значення часу t = t1 значення випадкової величини x(t1) не залежить від того, яких значень ця величина набувала для t < t 1, тобто процес у момент часу t = t1 не залежить від його поведінки в більш ранні моменти часу t < t1.

 

Марковський процес X(t) називають однорідним, якщо закономірностійогоповедінкинабудь-якомупроміжкучасуD T не

 

залежать від розміщення цього інтервалу на часовій осі.

 

Нехай X(t) – однорідний марковський процес з обмеженим, або зліченим, числом можливих станів i =0,1,2,3,…, n,…

 

Якщо аргумент t набуває лише значення 0,1,2,3,… n, то в цьому

 

разі матимемо послідовність переходів x (0) ® x (1) ® x (2) ® x (3) ®K

 

Такий процес послідовностей переходів називають ланцюгом Маркова.

При розробленні теорії ланцюгів Маркова часто дотримуються іншої термінології, а саме: розглядається певна фізична система S, яка в кожний момент часу може перебувати в одному з несумісних станів

 

63

 

А1, А2, А3,… А k,…і змінювати свій стан лише в моменти часу t1, t2, t3,… tk,…

 

Процес переходу системи S утворює ланцюг Маркова, якщо ймовірність перейти в стан Аj в момент часу t (tk < t < tk +1)залежить лише від того, в якому стані система перебувала в момент часу t ¢(tk −1< t ¢< tk), і не залежить від стану системи у попередні

 

моменти часу.

 

 

Імовірність переходу зі стану Ai в стан Aj в момент часу t позначають через pij (t).

 

Повна ймовірна картина всіх можливих переходів систем із одного стану в інший за умови, що число всіх станів дорівнює N, безпосередньо описується матрицею ймовірностей переходу

1 N

ç

÷

p

=

ç

ç

÷

p

p

p

ç

÷

p

=

÷

p

N

N

æ p (t) ç p 21(t)

ç......... è pN 1(t)

p (t)...... p (t) ö p 22(t)...... p 2 N (t) ÷

......................... ÷

pN 2(t)...... pNN (t)ø

 

Якщо pij (t) не залежить від часу, то ланцюг Маркова називають однорідним і тоді pij (t) = pij = const. А тому для однорідних ланцюгів Маркова матриця ймовірностей переходу набуває такого вигляду

æ 11 ç p 21

...... ç

N 1

12....... 1 N ö p 22....... p 2 N ÷

................... ÷

pN 2....... pNN ø

 

Для кожного рядка матриць виконується рівність

 

 

å pij (t) =å pij =1. j =1 j =1

 

 

Матрицю p n називають n –кроковою матрицею переходу з одного стану в інший.