Використання інтегральної теореми

 

За допомогою (3.5) можна оцінити близькість відносної частоти W (A) до ймовірності р випадкової події А. Нехай р —

 

імовірність появи випадкової події А в кожному експерименті за схемою Бернуллі й W (A)— відносна частота появи цієї події

 

при п експериментах.

 

Необхідно оцінити ймовірність події | W (A) -р | < e (e >0 і

 

є малою величиною). Якщо п набуває великих значень, то можна за формулою (3.5) одержати:

P (W (A)− p <e)=

 

 

= P ç−e è

 

n m − np

 

pq npq

pq ö= 2Fçe pq ÷. (3.6)

 

 

Приклад 1. Імовірність виходу з ладу виробу під час проведення експерименту, який має на меті виявити надійність виробу в роботі, дорівнює 0,2. Було перевірено 400 виробів. Чому дорівнює ймовірність такої події: абсолютна величина відхилення

відносної частоти виходу із ладу виробів від імовірності р = 0,2 становить e = 0,01?

Розв'язання. За умовою задачі: п = 400; р = 0,2; q = 0,8; e =

 

0,01. Підставивши ці значення в (3.6), дістанемо P (W (A)−0,2 < 0,01 = 2F(0,5) = 0,383.

 

 

 

Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій

Точність асимптотичної формули Лапласа для великих значень n — числа повторних незалежних експериментів за

схемою Бернуллі — знижується з наближенням р до нуля. Тому при n ® ¥, p ® 0 за умови пр = а = сonst імовірність появи

 

випадкової події т раз (0 <m<п) обчислюється за асимптотичною формулою:

 

P (m) = ame − a, (3.7)

 

яка називається формулою Пуассона.

 

Приклад 1. Радіоприлад містить 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного, причому кожний може вийти з ладу під час роботи приладу з імовірністю р = 0,002. Обчислити ймовірності таких випадкових подій

1) під час роботи приладу з ладу вийдуть 3 мікроелементи;

2) від трьох до шести.

 

Розв'язання. За умовою задачі маємо n = 1000; р = 0,002; m = 3; 3£ m £ 6. Оскільки n велике, а р мале число, то для обчислення

 

ймовірностей застосуємо формулу (3.7). Для цього обчислимо значення параметра а = 1000 • 0,002 = 2.

 

1) Р 1000(3) = 0,18044.

 

2) Р 1000 (3£ m £6) = Р 1000(3) + Р 1000 (4) + Р 1000 (5) + Р 1000(6) =

 

= 0,180447 + 0,168031 + 0,100819 + 0,050409 + 0,021604 = 0,52131.

 

Проста течія подій

 

Означення 1. Течією подій називають послідовність таких подій, які з'являються у випадкові моменти часу.

Наприклад, заява до диспетчерського пункту з викликом таксі.

 

 

38

n

m

!

 

Означення 2. Середнє число l появ події А в одиницю часу називають інтенсивністю течії.

Означення 3. Течія подій називається пуассонівською, якщо вона:

1. Стаціонарна, тобто кількість k появ події залежить лише від довжини проміжку часу D t і не залежить від того, де міститься D t

 

щодо початку відліку часу.

 

2. Має властивість відсутності післядії, тобто імовірність появи події не залежить від появи або не появи події раніше.

3. Ординарна, тобто імовірність появи більше однієї події в малий проміжок часу є величина нескінченно мала у порівнянні з імовірністю появи події один раз у цей проміжок часу.

Теорема. Якщо течія подій пуассонівська, то імовірність появи події А m разів за час t можна знайти за формулою:

 

t(m) =(t) e −l t, (3.8)

 

 

де l - інтенсивність течії.

 

Зауваження. Формулу (3.8) іноді називають математичною моделлю простої течії подій.

 

Питання для самоконтролю

 

1. Які експерименти називають експериментами за схемою Бернуллі?

2. За якої умови формула Бернуллі застосовується для обчислення ймовірностей?

3. Що називають найімовірнішим числом (модою)? 4. Довести, що np − q £ m 0 £ np + p.

5. Чому дорівнює nCmpmqn − m? m =0

 

39

m

l

P

m!

å

n

 

6. Сформулювати локальну теорему Маувра-Лапласа.

 

7. Сформулювати інтегральну теорему Маувра-Лапласа. 8. Чому дорівнює P (| W (A) − p |<e)?

 

9. Функція Гаусса, Лапласа та їх властивості.

 

10.За якої умови використовується формула Пуассона?

 

 

Література

 

 

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

Тема 4. Випадкові величини та їх економічна інтерпретація Мета роботи: вивчити поняття випадкової величини, їх види,

закони розподілу і набути практичні навички використання функції розподілу ймовірностей і щільності ймовірностей в ході розв’язання практичних задач.

План вивчення теми

 

1. Дискретні та неперервні випадкові величини. Закон розподілу їх ймовірностей.

2. Функція розподілу ймовірностей.

 

3. Щільність ймовірностей (диференціальна функція) f (x) її

 

властивості.

 

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи Поняття події в теорії ймовірностей являє собою абстрактну

модель певної якісної ознаки, що відбиває лише два альтернативні судження: є подія (відбулася) або немає (не відбулася). Подальший розвиток теорії ймовірностей потребував уведення такого нового поняття, як випадкова величина — абстрактної моделі кількісної ознаки.