Тема 7. Функції випадкового аргументу

 

Мета роботи: вивчити поняття функції, з акону розподілу та числові характеристики для функції дискретного і неперервного випадкового аргументу.

План вивчення теми 1. Поняття функції.

2. Закон розподілу та числові характеристики функції. дискретного випадкового аргументу.

3. Закон розподілу та числові характеристики функції. неперервного випадкового аргументу.

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи

 

 

Поняття функції

 

У багатьох випадках треба розглядати дві випадкові величини X та Y. Так, наприклад, при аналізі діяльності підприємства треба враховувати кількість усіх працюючих X та кількість зроблених виробів Y. З різних причин кількість працюючих та зроблених виробів кожного дня можуть бути різними, тобто X та Y будуть випадковими величинами.

 

Означення. Якщо вказано закон, за яким кожному можливому значенню випадкової величини X відповідає певне значення

випадкової величини Y, то Y називають функцією X і позначають Y =f(X).

 

 

Відзначимо, що іноді різним можливим значенням випадкової

 

величини X відповідають однакові значення Y. Наприклад, якщо Y = X2, то значенням 3 та –3 випадкової величини X відповідає

 

одне значення випадкової величини Y = 9.

 

Однією із можливих задач теорії ймовірностей є визначення законів розподілу та числових характеристик функцій випадкового аргументу, закон розподілу якого відомий. Вкажемо основні формули для розв'язування цієї задачі.

 

 

58

 

Закон розподілу та числові характеристики функції

 

Дискретного випадкового аргументу

 

Нехай Y =f(X), аргумент X - дискретна випадкова

 

величина. У цьому випадку Y також дискретна випадкова величина із відповідними значеннями.

Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення функції Y обчислюють за формулами:

 

M (Y)=åf(xk) pk, (7.1)

 

 

D (Y) = M (Y 2) − M 2(Y), (7.2) s(Y) = D (Y). (7.3)

 

 

Закон розподілу та числові характеристики функції неперервного випадкового аргументу

 

Нехай X — неперервна випадкова величина, закон розподілу

 

якої заданий диференціальною функцією розподілу (щільністю ймовірностей) f (x); випадкова величина Y =f(X).

 

Якщо f - диференційовна функція, монотонна на усьому проміжку можливих значень X, то щільність розподілу функції

 

Y =f(X) визначають так

 

g (y) = f ((y))×y¢(y).

 

де y - функція, обернена по відношенню до функції f.

 

 

Питання для самоконтролю

 

1. Як обчислити щільність ймовірностей випадкової величини Y, якщо Y =a(X), де a(X)— монотонна функція, і відомий

 

закон розподілу випадкової величини X.

 

2. Як обчислити f (x), якщо Y =a(X), де a(X) —

 

 

59

y

 

немонотонна функція і відомий закон розподілу випадкової величини X?

3. Числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу.

4. Числові характеристики функції неперервного випадкового аргументу.

 

Література

 

 

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

Тема 8. Граничні теореми теорії ймовірностей

 

Мета роботи: розібрати нерівність Чебишова, теорему Чебишова, центральну граничну теорему теорії ймовірностей, з’ясувати умови їх застосування.

План вивчення теми 1. Нерівність Чебишова.

2. Теорема Чебишова.

 

3. Центральна гранична теорема теорії ймовірностей.

 

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи Граничні теореми теорії ймовірностей встановлюють

відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових величин або випадкових подій при великій кількості випробувань. Граничні теореми описують також граничні закони розподілу.

Граничні теореми, які встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових подій, об'єднують загальною назвою - закону великих чисел.

Нерівність Чебишова

 

Якщо випадкова величина має обмежені M (X) і D (X), то

 

P (X − M (X) < e)³1− D (X). (8.1)

 

60

e

 

Теорема Чебишова

 

Нехай задано n незалежних випадкових величин Xi (i =1,2,..., n), обмежені M (Xi) і D (Xi) (D (Xi) < C), тоді

 

çå Xi å M (Xi) ÷

lim P i =1 − i =1 < e =1. (8.2)

n ®¥ ç ÷ è ø