Процес народження і загибелі

 

Один із важливих напрямів застосування ланцюгів Маркова — моделювання процесу народження і загибелі організмів. Цей процес може бути з дискретними або з неперервними змінами часу t. Його визначальною умовою є те, що переходи можливі лише в сусідні стани. Сутність марковського процесу в цьому разі полягає в тому, що він моделює зміни, котрі відбуваються в часі в певному об'ємі популяції, а саме — зміну числа одиниць певного виду організмів.

Такі процеси є надзвичайно зручними для математичного моделювання, що використовується для розв'язання задач теорії масового обслуговування (теорії черг).

Для процесу народження і загибелі допустимі лише переходи зі стану wk в стани wk-1 або wk+1.

Якщо об'єм популяції дорівнює к одиниць, то процес популяції перебуває в стані wk. Імовірність того, що система перебуває у стані wk позначається pk.

Перехід зі стану wk у стан wk+1 відповідає народженню одиниці виду організму, а перехід із wk в wk-1 — загибелі одиниці організму. Події народження певного організму та його загибелі є незалежними і несумісними.

Процес зміни об’єму популяції в стаціонарному режимі можна подати системою рівнянь:

−

−

í

m

p

ìl n 1 pn 1 + m n +1 pn +1 = (l npn +m npn), î l p 0 = 1 1.

 

 

(9.1)

 

Тут l n і m n - інтенсивності відповідно народження і загибелі одиниць популяції. Математична модель (9.1) застосовується в елементарній теорії масового обслуговування.

 

 

Елементи теорії масового обслуговування

 

Як у сфері виробництва, так і в побуті часто трапляються такі неприємні явища, як черга, що являє собою скупчення (яке буває численним) об'єктів (вимог), які чекають свого обслуговування. Під обслуговуванням об'єкта (вимоги) розуміють виконання стосовно нього (неї) певного комплексу операцій.

Черга може мати місце у повсякденному житті: у магазинах до кас чи до продавця, у поліклініці до лікаря. У виробничій практиці вона виникає під час виробничих процесів, коли накопичуються деталі, вузли, агрегати, які потребують обслуговування робітником, верстатом-автоматом. У більш складних системах обслуговування черги виникають під час навантажування чи розвантажування вагонів, річних та морських суден у портах, обслуговування літаків в аеропортах тощо. Причини, які призводять до черг як у сфері виробництва, так і в сфері обслуговування, мають випадковий характер і виникають тоді, коли:

1) пропускна здатність «приладу» обслуговування (робітник, касир, верстат-автомат) незадовольняєчисловимог, щонадходять;

2)об'єкти (вимоги) надходять нерегулярно, тобто у випадкові моменти часу, утворюючи при цьому пуассонівський потік;

3)час обслуговування об'єкта (вимоги) не є сталою величиною, а випадковою, і припускається, що вона має експоненціальний закон розподілу ймовірностей.

 

Математичною моделлю для найпростішої системи масового обслуговування з одним пуассонівським потоком і одним каналом обслуговування (одноканальний прилад), час якого має експоненціальний закон розподілу ймовірностей, є система рівнянь (9.1).

Розв’язуючи систему (9.1) послідовно, отримаємо:

 

1 =çl0 ö p 0, (9.2)1

 

66

æ

÷

p

÷

ç

m

ø

è

 

 

		.
		å

p 2 = ç1 0 ö p 0, 2 1

 

æl n 1... 0 ö

n èm n... 1 ø0

 

 

(9.3)

 

(9.4)

 

Значення p 0 знаходиться з рівняння: ¥ pn =1. n =0

 

 

Питання для самоконтролю

 

1. Що називають випадковим процесом? Їх класифікація. 2. Що називають реалізацією, випадкового процесу?

3. Що називають випадкового процесу?

 

4. Що називають функцією розподілу перерізу? 5. Функція розподілу двох перерізів.

6. Математичне сподівання перерізу випадкового процесу.

 

 

Література

 

 

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

 

Змістовий модуль 2. Математична статистика

 

 

Тема 10. Первинне опрацювання статистичних даних

 

Мета роботи: з’ясувати основні задачі математичної статистики, її методи, поняття вибіркової сукупності.

План вивчення теми 1. Предмет математичної статистики.

2. Генеральна та вибіркова сукупності.

 

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи