Функція розподілу ймовірностей

 

Закон розподілу ймовірностей можна подати ще в одній формі, яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових величин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F (x),такзвануінтегральнуфункцію.

У випадку неперервної випадкової величини для її повної

 

 

 

характеристики вводять інтегральну та диференціальну функції розподілу.

Означення 4. Інтегральною функцією розподілу F (x)

 

(функцією розподілу) називають ймовірність того, що випадкова

 

величина X прийме значення, менше х:

 

F (x) = P (X < x). (4.2)

 

Якщо НВВ X може приймати будь-яке значення з (а, b), то

 

P (a < X < b) = F (b)− F (a), (4.3)

 

 

тобто ймовірність прийняття величиною X значень з (а, b) дорівнює приросту функції розподілу.

Формулу (4.3) часто називають основною формулою теорії ймовірностей.

Означення інтегральної функції розподілу та властивості ймовірності Р дозволяють одержати такі властивості функції

розподілу:

 

1) 0 £ F (x) £1.

 

2) F (x) є неспадною функцією аргументу x, тобто F (x 2) ³ F (x), якщо x 2 1.

 

3. Щільність ймовірностей (диференціальна функція) f (x) її властивості

 

Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовірностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку позначають f (x).

 

Означення 5. Диференціальною функцією розподілу або щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу і

позначають:

 

f (x) = F ¢(x) (4.4)

 

Назва «щільність ймовірностей» випливає з рівності:

 

43

> x

 

f (x) = lim P (X < x + D x)− P (X < x). (4.5)

x 0

 

Із формули (4.4) випливає, що функція розподілу F (x) є первісною для диференціальної функції розподілу f (x). З (4.3) та (4.4) легко довести наступну теорему.

 

Теорема. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина X прийме значення з інтервалу (а, b), можна знайти за формулою:

b

P (a < X < b)=ò f (x) dx. (4.6) a

 

Наслідок. Якщо диференціальна функція розподілу (щільність ймовірності) f (x) відома, то інтегральну функцію розподілу F (x)

 

можна знайти за формулою:

 

b

P (a < X < b)=ò f (x) dx. (4.7) a

 

Диференціальна функція розподілу НВВ має такі властивості: 1) f (x) ³ 0 тому, що вона є похідною неспадної функції F (x);

 

¥

2) ò f (x) dx =1тому,щоподія−¥ < X < ¥ —достовірна.−¥

 

 

Питання для самоконтролю

 

1.Означення випадкової величини.

 

2.Означення дискретної і неперервної випадкової величини. 3.Умова нормування для дискретної випадкової величини. 4.Закон розподілу випадкової величини.

5.Що називається функцією розподілу випадкової величини? 6.Довести, що F(x2) ³ F(x1) при x2> x1.

7.Чому дорівнює F (-¥), F (¥)? 8.Чому дорівнює P (a < X < b)?

 

 

44

D x

®

}

{

 

9.Довести, що для неперервної випадкової величини P (X = x) = …

10. Означення щільності ймовірностей неперервної випадкової величини Х.

¥ b

11.Чомудорівнюютьінтеграли: ò f (x) dx іò f (x) dx? −¥ a

 

Література

 

 

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

 

 

Тема 5. Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин

Мета роботи: вивчити числові характеристики і основні закони розподілу випадкових величин і набути практичні навички використання основних законів розподілу і розрахунку числових характеристик випадкових величин в ході розв’язання практичних задач.

План вивчення теми

 

1. Числові характеристики випадкових величин та їх властивості.

2. Біноміальний закон розподілу. 3. Закон розподілу Пуассона.

4. Рівномірний розподіл.

 

5. Експоненціальний розподіл. 6. Нормальний розподіл.

4. Розподіл c2(«хі-квадрат»). 5. Розподіл Стьюдента.

 

Методичні рекомендації до самостійної роботи

 

Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин дає повну інформацію про них. Проте на практиці немає потреби так докладно описувати ці

 

 

 

величини, а достатньо знати лише певні параметри, що характеризують їх істотні ознаки. Ці параметри і називають числовими характеристиками випадкових величин.

 

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Математичне сподівання

 

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Термін «математичне сподівання» випадкової величини X є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.

Математичним сподіванням випадкової величини X, визначеною на дискретному просторі, називається величина:

n

M (X) = x pi (5.1) i =1

 

Якщо простір є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини X називається величина

¥

M (X)=ò xf (x) dx (5.2)−¥

 

Властивості математичного сподівання:

 

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює

 

самій сталій:

 

M (C) = C

 

2. М (СХ) = СM(X).

 

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

 

M (A + BX) = A + BM (X)

 

Мода та медіана випадкової величини

 

Модою (Мо) дискретної випадкової величини X називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини X називають те її

 

 

46

å

i

 

можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності

 

ймовірності:

 

f (Mo) = max.

 

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл ймовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини X називають те її значення, для якого виконується рівність:

 

 

F (Me) = 0.5