Функція 1-ого випадкового аргументу.

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

1) Нехай закон дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х = хi	x1	x2	............	xk
P(X = xi) = pi	p1	p2	.............	pk

Тоді закон розподілу випадкової величини Y = (х) матиме такий вигляд:

Y = α (хi)	α (х1)	α (х2)	..........	α (хk)
P(Y = α (хi) = рi	p1	p2	.........	pk

Умова нормування для f (у):

.

За знайденою f (у) функцією розподілу ймовірностей визначається

.

_________________________________

 

Математичне сподівання функції 1-ого випадкового аргументу.

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

Математичне сподівання дискретного випадкового аргументу

Математичне сподівання функцій неперервного випадкового аргументу:

;

_________________________________

 

Функції 2-х випадкових аргументів.

У загальному випадку функцію двох аргументів Х і Y можна позначити як

,

де є невипадковою функцією.

Якщо Х та Y є дискретними випадковими величинами, то і Z буде дискретною. Якщо Х та Y є неперервними, то і Z буде неперервною.

_________________________________

 

Математичне сподівання суми двох випадкових аргументів.

Математичне сподівання.

М (Х + Y) = М (Х) + М (Y). (1)

Висновок 1.

М(АХ+ВY+С)=АМ(Х)+ВМ(Y)+С.

А, В, С — деякі сталі.

Висновок 2.

.

_________________________________

 

Біноміальний розподіл.

Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

.

Імовірнісна твірна функція для біноміального закону

.

Основні числові характеристики:

.

;

.

_________________________________

 

Закон розподілу неперервної випадкової величини. Рівномірний розподіл.

Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:

. (1)

Імовірнісна твірна функція:

.

Числові характеристики:

.

_________________________________

 

Нормальний розподіл.

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо

f (х) = ,

де а = М (X), s = s (X). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і s і називається загальним.

Тоді

F(x)= dx. (2)

 

Для нормального закону Мо=Ме=а.

Загальний нормальний закон позначають: N (a; s).

_________________________________

 

Правило трьох сигм для нормального закону.

Коли , то маємо:

.

Практично ця подія при одному експерименті здійсниться, а тому її вважають практично вірогідною. Звідси:

Тобто ймовірність того, що внаслідок проведення експерименту випадкова величина Х, яка має закон розподілу N (a; s), не потрапить у проміжок , дорівнює 0,0027.

_________________________________

 

Геометричний закон.

Закон подається формулою:

Геометричний закон розподілу має частота настання події у схемі незалежних повторних випробувань, якщо вони проводяться до першого настання події. У формулі р — імовірність настання події в кожному випробуванні. Геометричний закон розподілу застосовується у задачах статистичного контролю якості і теорії надійності. Числові характеристики розподілу:

_________________________________

 

46. Розподіл Х².

Розглядаємо послідовність попарно незалежних випадкових величин, які розподілені нормально з нульовими математичними сподіваннями і одиничними дисперсіями.

Якщо то ця сума має розподіл з ступенями волі. Щільність розподілу

Числові характеристики розподілу:

M(X)=n. D(X)=2n.

_________________________________

 

Математичне сподівання і дисперсія при нормальному розподілу.

Нормальний розподіл — розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності

Нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, кожна з яких грає в утворенні всієї суми незначну роль.

Математичне сподівання нормального розподілу дорівнює параметру а: М(Х) = а.

Дисперсія при нормальному розподілі: D(Х) = σ².

_________________________________