Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Система двох дискретних випадкових величин.

Поиск

На одному й тому самому просторі елементарних подій W можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. Така потреба постає, наприклад, коли досліджуваний об’єкт характеризується кількома випадковими параметрами.

Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин. Якщо тобто розглядається система двох випадкових величин , то геометрично її можна тлумачити як випадкову точку з координатами на площині або як випадковий вектор, складові якого — випадкові величини

Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X1, X2, …, Xn) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також системою n випадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.

_________________________________

 

Закон розподілу ймовірностей дискретної двомірної величини.

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = yi , X = xj та відповідних їм імовірностей спільної появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

X=xj Y=yi x1 x2 xm pyi
y1 p11 p12   p1m py1
y2 p21 p22   p2m py2
y3 p31 p32   p3m py3
yk pk1 pk2 pkm pym
pxj px1 px2 pxm  

Тут використано такі позначення

Умова нормування має такий вигляд:

_________________________________

 


Коефіцієнт кореляції та його властивості.

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

У разі Κху = 0 зв’язок між величинами Х та Y відсутній.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

, або .

Якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κху = 0 і rху = 0. Рівність нулеві rху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо rху = 0, і корельованими, якщо rху ¹ 0.

_________________________________

 

Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин та її властивості.

Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х, Y) називають таку функцію двох аргументів х, у, яка визначає ймовірність спільної появи подій (X < x) I (Y < y):

F(x,y) = P((X < x) I (Y < y)).

Властивості F(x, y)

1. 0 £ F(x, y) £ 1, оскільки 0 £ P((X < x) I (y < y)) £ 1.

2. Якщо один із аргументів F(x, y) прямує до + , то функція розподілу системи прямує до функції розподілу одного аргументу, що не прямує до + , а саме:

3.

4.

5. F(x, y) є неспадною функцією аргументів х і у.

Р(а < Х < b, Y < y) = F(b, y) – F(a, y);

P(X < x, c < Y < d) = F(x, d) – F(x, c).

6. Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c).

_________________________________

 


Щільність розподілу двомірної випадкової величини.

Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.

Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.

Властивості f (x, y)

1. Функція f (x, y) ³ 0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у.

2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така:

.

3. Імовірність розміщення системи змінних (х, у) в області обчислюється так:

4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння

5. Якщо , то

_________________________________

 

Основні числові характеристики системи двох неперервних випадкових величин (Х,У).

_________________________________

 

Ймовірність влучення випадкових точок у прямокутник.

Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c).

Доведення.

Розглянемо такі випадкові події:

A = (X < b, Y < d); B = (X < a, Y < c); C = (a < X < b, Y < c); D = (X < a, c < Y < d); E = (a < X < b, c < Y < d).

Оскільки випадкові події B, C, D, E несумісні, маємо:

A = B U C U D U E.

P(A) = P(B U C U D U E) = P(B) + P(C) + P(D) + P(E).

P(x < b, y < d) = P(x < a, y < c) + P(a < x < b, y < c) + P(х < a, c < у < d) + P(a < x < b, c < y < d).

F(b, d) = F(a, c) + F(b, c) – F(a, c) + F(a, d) – F(a, c) + P(a<X<b,c<Y<d);

P(a<X<b,c<Y<d)=F(b,d)+F(a,c)–F(a, d) – F(b, c), що й треба було довести.

_________________________________




Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 239; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.239.50 (0.009 с.)