Класичне означення імовірності.

Імовірністю випадкової події А називається невід’ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m (0≤ m ≤ n), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору Ω:

Р (А) = .

Для неможливої події Р (Æ) = 0;

Для вірогідної події Р (Ω) = 1.

Отже, для довільної випадкової події

.

_________________________________

 

Основні формули комбінаторики.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин, де всі елементи різні, обчислюється за формулою:

.

Розміщенням із n елементів по m (0 ) називаються такі впо­рядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом. Кількість таких множин, де всі елементи різні, обчислюється за формулою:

.

Комбінаціями з n елементів по називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом. Кількість таких множин:

.

_________________________________

 

Геометрична ймовірність.

Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина W обмежена.

Якщо простір елементарних подій W можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарних подій для події А — як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин:

.

При цьому вважається, що ймовірність попадання в деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини.

_________________________________

 

Статистична ймовірність.

На практиці обчислити ймовірності випадкових подій можна лише для обмеженого класу задач як для дискретних, так і для неперервних просторів елементарних подій. Для більшості задач, особливо економічних, обчислити ймовірності практично неможливо. У цьому разі використовується статистична ймовірність.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n:

Знаходження статистичної ймовірності пов’язане з проведенням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або відносною частотою, події.

Як і для ймовірності випадкової події, для відносної частоти виконується нерівність

.

_________________________________

 

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність.

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них впливає на ймовірність появи іншої.

У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними.

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною. Ця ймовірність обчислюється за формулою

, .

Аналогічно

, .

1. Р (А / В) = 0, якщо А∩В = Æ.

2. Р (А / В) = 1, якщо А∩В = В.

3. У решті випадків 0 < Р(А / В) < 1.

_________________________________

Теорема складання ймовірностей несумісних подій.

Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді, якщо події В і С несумісні, то

.

_________________________________

 

Теорема складання ймовірностей сумісних подій.

Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді, якщо події В і С сумісні, то

_________________________________

 

Теорема множення ймовірностей для залежних подій.

Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді, якщо події В і С залежні, то

Ці теореми справджуються й для добутку n (n > 2) подій.

_________________________________

 

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій.

Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді, якщо події В і С незалежні, то

.

Ці теореми справджуються й для добутку n (n > 2) подій.

_________________________________

Формула повної ймовірності.

У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умови, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій В_і, які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними

, імовірність події А обчислюється за формулою

,

яка називається формулою повної ймовірності.

Випадкові події В₁, В₂,... В_n називають гіпотезами.

_________________________________

 

Формула Байєса.

Застосовуючи формулу множення ймовірностей для залежних випадкових подій А, В_і (і = ), дістаємо

Р(А) Р(В_і / А) = Р (В_і) Р(А / В_і) →

Одержана залежність називається формулою Байєса. Її використовують для переоцінювання ймовірностей гіпотез В_і за умови, що випадкова подія А здійсниться.

_________________________________

Формула Бернуллі.

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю p відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто p + q = 1.

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з’явиться m раз, подається у вигляді

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від m_і до m_j раз, обчислюється так:

.

_________________________________