Щільність ймовірностей та її властивості.

Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовірностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку позначають f (x). Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x):

звідки

Властивості f (x)

1. .

2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х:

3. Імовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервалі обчислюється за формулою

4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини має вигляд

_________________________________

 

Математичне сподівання.

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина

Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина

Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.

_________________________________

 

Властивості математичного сподівання.

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С.

2. М (СХ) = СМ (Х).

Для дискретної випадкової величини маємо

.

Для неперервної:

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

.

_________________________________

Мода та медіана.

Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f (Mо) = max.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:

Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:

(2)

або при Х Î [а; b]:

. (3)

Отже, Ме — можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рівні частини.

_________________________________

 

26. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення.

Математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М (Х))

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини

.

Для дискретної випадкової величини Х дисперсія

;

для неперервної

.

Якщо Х Î [а; b],

то .

Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.

Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:

.

_________________________________

Властивості дисперсії.

1. Якщо С — стала величина, то

.

Справді

.

2. . (2)

Маємо:

3. Якщо А і В — сталі величини, то

.

Адже

Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:

Для дискретної випадкової величини Х

;

для неперервної

Дисперсія не може бути від’ємною величиною .

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання.

_________________________________

 

Початкові та центральні моменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х ^k:

.

Для дискретної випадкової величини Х

;

для неперервної

.

Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від (Х – М(Х))^k:

(5)

Для дискретної випадкової величини

для неперервної

.

_________________________________

 

Асиметрія та ексцес.

Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо m₃ = 0, то випадкова величина Х симетрично розподілена відносно М(Х). Оскільки m₃ має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — коефіцієнт асиметрії:

.

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою

_________________________________