Тема 8. Моделювання ризику при різних рівнях заданого розподілу ймовірностей

Основні питання:

1. Критерії прийняття рішень при заданому розподілі ймовірностей.

2. Критерії прийняття рішень за умов відсутності розподілу ймовірностей.

3. Суперпозиція критеріїв прийняття рішень, обтяжених ризиком.

 

Мета теми: опрацювання теорії математичних моделей та методів прийняття раціональних рішень за умов заданого розподілу ймовірностей.

Основні терміни і поняття теми: критерій Байєса, критерій Бернуллі-Лапласа, математичне сподівання, антагоністичні інтереси середовища.

Зміст теми.

Згідно з критерієм Байєса (критерій ризику) оптимальним розв’язком слід вважати такий, для якого математичне сподівання функціоналу оцінювання досягає свого найменшого значення:

, (36)

де - величина ризику функціоналу оцінювання

Етапи розрахунку критерію:

1) розраховується матриця ризиків;

2) розраховуються величини , які називають Байєсовським ризиком для розв’язку .

3) з отриманих значень обирають мінімальне.

Отже, оптимальним є варіант, який забезпечує підприємству мінімальний допустимий ризик.

Існує інший варіант застосування критерію Байєса, який задовольняє умові:

(37)

Тобто, знаходиться математичне сподівання для кожного рішення на основі вихідної матриці прибутків і обирається серед них максимальне.

Згідно з критерієм Бернуллі-Лапласа апріорні ймовірності станів середовища рівні, тобто згідно з «принципом недостатніх підстав»: .

Ці оцінки розподілу апріорних ймовірностей дають змогу застосувати критерії інформаційної ситуації . Критерій Бернуллі-Лапласа, що ґрунтується на застосуванні критерію Байєса та принципу недостатніх підстав для знаходження оцінок апріорних ймовірностей , формулюють так: оптимальним є той розв’язок , який задовольняє умові:

, (38) де , (39)

n – кількість станів економічного середовища.

Етапи розрахунку даного критерію:

1) розраховується матриця кількісної оцінки ризику;

2) визначається середнє математичне очікування ризиків;

3) із отриманих даних обирається мінімальне.

Іншим способом визначення оптимального варіанту за даним критерієм є вибір рішення яке задовольняє умові:

, (40)

де (41)

Тобто, за основу розрахунків береться вихідна матриця прибутків.

В ситуації, коли мається апріорний розподіл ймовірностей настання певного стану і водночас йдеться про антагоністичні інтереси середовища , що мають для керівництва фірми пріоритет, то має місце інформаційна ситуація , при якій за критерій прийняття рішення обирається критерій Гурвіца.

Етапи розрахунку критерію:

1) визначається мінімальне значення функціоналу оцінювання для кожного рядку вихідної матриці;

2) для кожного рішення визначається ;

3) для кожного рішення визначається ;

4) із отриманих значень обирається максимальне.

Критерій Гурвіца має назву песиміста-оптиміста. При критерій Гурвіца співпадає з максимальним критерієм, а при - з критерієм Вальда.

За іншими методиками (за відсутності ймовірностей розподілу станів середовища) на основі матриці прибутків критерій Гурвіца визначається згідно умови:

, (42)

а на основі ризиків:

(43)

Якщо в умові задачі є ймовірність (Р) появи стану середовища (Q), то критерій Гурвіца слід розраховувати з використанням (на основі) критерію Байєса.

Якщо ймовірності не вказані, слід скористатися формулами (42) та (43).

Література: 1, с. 166-188; 3, с. 205-256; 5, с. 256-300; 10, с. 106-119

Тема 9. Формування інвестиційної стратегії підприємства з урахуванням ризику

Основні питання:

1. Сутність та сфери застосування теорії портфелю.

2. Формування портфелю з двох різних акцій.

3. Портфель з багатьох акцій.

4. Оптимізація структури портфелю.

5. Спрощена класична модель формування портфелю.

 

Мета теми: побудова оптимальних портфелів цінних паперів.

Основні терміни і поняття теми: портфель цінних паперів, диверсифікація вкладень, множина допустимих портфелів, множина ефективних портфелів, оптимальний портфель, структура портфеля цінних паперів.

Зміст теми.

Під теорією портфеля розуміють розподіл коштів між цілим рядом різних активів (акцій, облігацій) в найбільш вигідній та безпечній пропорції.

Для портфеля з 2-х акцій характерні такі елементи:

· акції А і Б з відповідними номерами 1 та 2;

· норми прибутку та ;

· варіації та ;

· середнє квадратичне відхилення та .

Сподівана норма прибутку портфеля з 2-х акцій розраховується за формулою:

, (44)

де та - частки кожної акції в портфелі .

Ризик такого портфеля можна обчислити за допомогою варіації :

, (45)

де - кореляція двох різних видів акцій.

Середнє квадратичне відхилення портфеля з 2-х акцій розраховується за формулою:

(46)

Частки 2-х різних акцій в даному портфелі розраховуються за формулою:

, (47)

а, відповідно, .

Величина кожної з часток акцій залежить від ступеню кореляції між цими акціями (). Існує три випадки, коли: =1; =0; =-1. Випадок, коли =1 є одним з екстремальних випадків, який означає абсолютно додатню кореляцію між нормами прибутку 2-х акцій. Він має місце тоді, коли розглядаються акції підприємств, які виготовляють взаємодоповнюючі товари (автомобілі – шини тощо), і норма прибутку однієї акції змінюється прямопропорційно нормі прибутку іншої акції. Випадок абсолютної додатної кореляції не дозволяє досягти істотного ефекту: зменшуючи ризик цих акцій, менеджер зменшує і їх сподівану норму прибутку та навпаки.

Випадок, коли =-1 означає абсолютну від’ємну кореляційну залежність між нормами прибутку 2-х акцій. Величина варіації в даному випадку визначається за формулою:

, (48)

або

Ризик портфеля, виражений як середньоквадратичне відхилення в цьому випадку дорівнюватиме:

(49)

Аналіз рівняння (49) показує, що ризик портфеля в цьому випадку можна суттєво зменшити. Якщо прирівняти до нуля, то

(50)

Тобто, у випадку абсолютної від’ємної кореляції є можливість обрати таку структуру портфеля, який цілком буде позбавлений ризику.

Випадок, коли =0, означає відсутність взаємозв’язку між акціями, тобто формування норми прибутку іншої акції. Величина варіації в даному випадку розраховується за формулою:

(51)

Середньоквадратичне відхилення розраховується за формулою:

(52)

Звідси витікає, що є можливість часткової редукції ризику портфелю 2-х акцій. Частки акцій розраховуються за формулою:

, (53)

або (54)

Перейдемо тепер до загального випадку, коли до складу портфеля залучено багато різних акцій. Вихідна інформація для визначення структури портфеля з багатьох акцій наступна: n – кількість різних акцій, що залучаються до портфеля, пронумерованих від 1 до n; - сподівана норма прибутку і-ої акції (і= ), - коефіцієнт кореляції і-ої та j-ої акції (); - частка і-ої акції, залученої до портфеля (і= ).

Очевидно, що (55)

Середня сподівана норма прибутку для портфеля з багатьох акцій розраховується за формулою:

(56)

Величина варіації:

(57)

Середньоквадратичне відхилення:

(58)

З формули (57) витікає, що варіацію, тобто ризик портфеля, можна трактувати як суму двох складових. Перша складова віддзеркалює індивідуальний ризик кожної з акцій, друга складова характеризується взаємозв’язками між парами акцій, тобто показує вплив коефіцієнтів кореляції пар акцій на ризик портфеля: від’ємні величини коефіцієнтів кореляції призводять до зменшення варіації портфеля.

Література: 1, с. 124-164; 9, с. 65-116