Точкова оцінка математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини.

За точкову оцінку М* математичного сподівання а=М(Х) генеральної сукупності вибирають вибіркове середнє тобто Статистична оцінка невідомого параметра генеральної сукупності одним числом називається точковою. Точковою оцінкою невідомого параметра Θ генеральної сукупності називають однозначно визначену функцію Θ* = Θ*(х1, х2,...хп) на основі вибірки, за допомогою якої знаходять наближене значення параметра Θ.За точкову оцінку М* математичного сподівання а=М* генеральної сукупності вибирають вибіркове середнє, тобто М^*= х_в = n_ix_i

44. Поняття точкової оцінки параметра розподілу випадкової величини та її незміщеність, змістовність і ефективність. Зв'язок точкових оцінок параметрів розподілу випадкової величини з її числовими характеристиками. Точкова оцінка параметра – це статистична оцінка невідомого параметра генеральної сукупності одним числом.

1)Оцінка параметра називається незміщеною, якщо за будь-якого обсягу вибірки її математичне сподівання дорівнює параметру, який оцінюється, тобто .В іншому випадку оцінка називається незміщеною.

2)Оцінка параметра 𝛩 називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх оцінок, які обчислені за вибірками одного і того ж обсягу n.

3) при розгляді великих за обсягом вибірок додається ще вимога змістовності. Оцінку 𝛩* називається змістовною, якщо при n→∞ вона прямує за ймовірністю до оцінюваного параметра 𝛩, тоюто виконується рівність

Якщо при n→∞ дисперсія незміщеної точкової оцінки прямує до нуля, то така оцінка є також змістовною. За точкову оцінку M* математичного сподівання a=M(X) генеральної сукупності вибирають вибіркове середнє. За точкову оцінку D* дисперсії D(X) генеральної сукупності вибирають зміщену точкову оцінку дисперсії або незміщену вибіркову дисперсію. Точкова оцінка * середнього квадратичного відхилення обчислюється як середнє квадратичне відхилення

46. Точкова оцінка дисперсії і середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини. За точкову оцінку Д* дисперсії Д(Х) генеральної сукупності вибирають зміщену точкову оцінку дисперсії

D^* = D_в = n_i(x_i – x_в)² = n_i x_i² - x_в² або незміщену (виправлену) вибіркову дисперсію D^* = D_в = D_{в =} Точкова оцінка σ* середнього квадратичного відхилення σ(Х) генеральної сукупності обчислюється за формулою ^{σ * =}

^47. Інтервальні оцінки математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини у випадках, коли середньоквадратичне відхилення σ відоме і не відоме.

Інтервальною називають оцінку, як визначається двома числами - кінцями інтервалу. Інтервал (Θ* - δ; Θ* + δ)називається довірчим, якщо він покриває оцінюваний параметр Θ із заданою наперед імовірністю γ. Нехай середнє квадратичне відхилення σ_r — відоме. У такому вападку довірчий інтервал, що покриває математичне сподівання а_r = М(Х) із заданою ймовірністю γ, обчислюється за формулою Де x_в — вибіркове середнє; n – обсяг вибірки; - значення аргументу функції Лапласа , за якого = Величина (точність оцінки)

48. Інтервальна оцінка середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини.

О скільки дисперсія і середнє квадратичне відхилення пов’язані співвідношенням , то досить оцінити .Довірчий інтервал, який покриває σ із заданою надійністю γ, знаходимо за формулами: < < при <1 або 0< < при >1 Значення за даними n і γ знаходимо у відповідній таблиці.

49. Задача про статистичну перевірку гіпотези і критерій узгодження.

Статистичною називають гіпотезу про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих уже розподілів.Статистичні гіпотези поділяються на дві основні групи:

· непараметричні гіпотези — це гіпотези про закони розподілу ймовірностей випадкової величини генеральної сукупності;

· параметричні гіпотези — це гіпотези про значення параметрів законів розподілу ймовірностей випадкової величини генеральної сукупності.

Сформульована гіпотеза, яка піддається перевірці, називається нульовою(основною). Гіпотеза, яка єсуперечить нільовій чи є протилежною до не називається альтернативною (конкуруючою).Оскільки перевірка основної гіпотези проводиться за даними вибірки статистичними методами, то цю перевірку називають статистичною.Імовірність допустити помилку першого роду називається рівнем значущості.Статистичним критерієм гіпотези (або просто критерієм) називають випадкову величину К, за допомогою якої перевіряється основна гіпотеза.Значення випадкової величини К, яке обчислене на основі певної вибірки, називається емпіричним (або спостережним) значення критерію гіпотези.Множина значень критерію К, за яких основна гіпотеза відхиляється, називається критичною областю (КО).Множина значень критерію К, за яких основна гіпотеза приймається, називається областю прийняття гіпотез (ОПГ).