Числові характеристики середнього арифметичного однаково розподілених взаємно незалежних дискретних випадкових величин та їх практичне значення.

Чисельні характеристики (математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення) середнього арифметичного n взаємно незалежних і однаково розподілених дискретних випадкових величин , , …, виражаються такими рівняннями:

M ()= M, D ()= , σ =

Значення середнього арифметичного результатів вимірювань ознаки випадкової величини є надійнішим і ближчим до істинної характеристики цієї ознаки, ніж окремий результат.

Функція розподілу випадкової величини та її графік.

Функцією розподілу (інтегральною функцією розподілу, інтегральним законом розподілу) випадкової величини Х називається ймовірність того, що в результаті випробування вона набуде значення, меншого за х, тобто

F (X) = P (X < x)

 

Формула для обчислення ймовірності попадання значень випадкової величини Х в заданий інтервал, яка виражається через функцію розподілу.

Ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення з проміжку [a; b), дорівнює приросту функції розподілу на цьому проміжку, тобто Р (а ≤ Х < b) = F (b) – F (a)

Густина розподілу неперервної випадкової величини та її графік.

Густиною розподілу неперервної випадкової величини Х називається функція f(x), яка дорівнює першій похідній від функції розподілу F (x), тобто

f(x) = (x)

Формула для обчислення ймовірності попадання значень випадкової величини в заданий інтервал, яка виражається через густину розподілу.

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х набуде значення з інтервалу (а; b), дорівнює невизначеному інтегралу від густини її розподілу в межах від а до b, тобто:Р (а < Х < b) =

Математичне сподівання неперервної випадкової величини.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини Х називають число М(Х), яке визначається рівністю:M(X) =

якщо можливі значення НВВ Х належать інтервалу (а; b), абоM(X) = , якщо можливі значення НВВ Х належать усій осі Ox.У другому випадку припускається, що останній інтеграл збігається абсолютно, тобто існує

Математичне сподівання неперервної випадкової величини є точки числової осі, яка характеризує її «середнє» значення або центр розподілу її значень.

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини.

Дисперсією неперервної випадкової величини Х називають математичне сподівання квадрата її відхилення Х – М(Х), тобто:

D(X) = якщо можливі значення величини Х зосереджені на інтервалі (а; b), і D(X) = якщо можливі значення величини Х містяться на всій осі Ox.

Для обчислення дисперсії неперервної випадкової величини часто використовують більш зручні формули: D(X) = D(X) =

Середнє квадратичне відхилення σ(Х) неперервної випадкової величини Х визначається рівністю: σ(Х) = Дисперсія і середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини характеризують «розсіювання» можливих її значень в околі точки осі Ох, яка зображає математичне сподівання.

Числові характеристики рівномірно розподіленої випадкової величини.

Математичне сподівання М(Х) =

Дисперсія D(X) =

Середнє квадратичне відхилення σ(Х) =

Нормальний закон розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини та ймовірностей зміни параметрів розподілу.

НВВ Х називається розподіленою за нормальним законом (або нормально-розподіленою) з параметрами -∞<а<∞ і Ϭ>0, якщо густина розподілу ймовірностей має вигляд

 

Формула для обчислення імовірності попадання значень нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал.

, де a, b – межі інтервалу.

Рівномірний закон розподілу ймовірностей випадкової величини та графіки її густини й функції розподілу.

НВВ Х називається рівномірно розподіленою на проміжку [a;b], якщо її густина f (x) на цьому проміжку є сталою величиною С.

Стала С не є довільною. Оскільки , то С = f(x) = F(x)=

Числові характеристики показниково розподіленої випадкової величини.

Математичне сподівання Середнє квадратичне відхилення Ϭ(X)= Дисперсія D(X)=

Формула для обчислення ймовірності попадання значень показникові розподіленої випадкової величини в заданий інтервал.

Імовірність того, що показникові розподілена випадкова величина Ч набуде значень з проміжку (x1;x2) –