Теорема Чебишева та стійкість середнього арифметичного випадкових величин.

Теорема Чебишева: Нехай Х1, Х2, …, Хn- попарно незалежні випадкові величини, які мають скінченні математичні сподівання та обмежені в сукупності дисперсії (обмежені одним і тим самим числом С, тобто для усіх i=1,2,…,n, і нехай (у позначеннях) , . Тоді тобто практично з достовірністю можна стверджувати, що різниця між середнім арифметичним випадкових величин і середнім арифметичним їх математичнх сподівань є як завгодно малою, якщо n – число випадкових величин є досить великим. Середнє арифметичне великого числа незалежних випадкових величин втрачає випадковий характер і має властивість стійкості.

Показниковий розподіл імовірностей неперервної випадкової величини.Графік густини й функції розподілу.

НВВ Х називається розподіленою за показниковим законом з параметром λ, якщо густина розподілу її ймовірностей має вигляд формули

Графік густини:f(x)λ

· x

 

 

 

 

Графік функції розподілу:

F(x)

1 ………………………………..

 

O x

 

 

 

Теорема Бернуллі і стійкість відносних частот.

Якщо в кожному з n незалежних повторних випробуваннях імовірність появи події A є однаковою і дорівнює p, то за досить великого n має місце рівність , де відносна частота появи події А, m – число появ події A, n – число випробувань, - будь-яке як завгодно мале число. Теорема Бернуллі стверджує, що відносна частота події А за досить великого числа випробувань є стійкою величиною.

Центральна гранична теорема і її граничне значення.

Теорема: Нехай випадкові величини Х1, Х2,…Хn, - незалежні і однаково розподілені, причому ? , i=1,2,…n. Розглянемо випадкову величину , для якої Тоді закон розподілу суми за наближається до нормального з математичним сподіванням і середнім квадратичним відхиленням , тобто

Система двох випадкових величин, її закон розподілу та числові характеристики складових.

Розгляд двох чи більше випадкових величин в їх взаємозалежності розуміється як система випадкових величин. Така система ще має назву багатовимірної випадкової величини.

Законом розподілу ймовірностей ДДВВ (X,Y) називається перелік її можливих значень ( та відповідних ймовірностей p( спільної їх появи.

Числові характеристики її складових знаходяться як для одновимірної ДВВ.

 

Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції.

Кореляційний момент випадкових величин (X,Y) називається математичне сподівання добутку відхилен цих величин, тобто

Для обчислення кореляційного моменту ДДВВ користуються формулою або .

Якщо випадкові величини X I Y – незалежні то , якщо ж то величини X I Y є залежними.

Коефіцієнт кореляції це величина яка характеризує лише ступінь лінійної залежності між випадковими величинами X I Y.

Умовні закони розподілу системи двох дискретних випадкових величин та їх числові характеристики.

Умовним законом розподілу ДВВ Х за фіксованого значення Y= називається перелік усіх можливих значень величини Ч та відповідних їм умовних імовірностей

Математичні сподівання:

Умовні дисперсії

Умовні середні квадратичні відхилення

Статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики.

Дискретним статистичним розподілом вибірки називається перелік витрат і відповідних їм частот чи відносних частот Інтервальним статистичним розподілом вибірки називають відповідність між інтервалами варіаційного ряду та накопиченими частотами чи відносними накопиченими частотами. Числові характеристики: Вибірковим середнім статистичного розподілу вибірки називається середнє арифметичне значення її варіант з урахуванням їх частот .

Розмах вибірки – це різниця між найбільшим і найменшим значеннями іі варіантами.

Вибіркова дисперсія (або статистичного розподілу вибірки – це вибіркова середня квадратів різниць між варіантами та їх вибірковими середніми або Вибіркове середнє квадратичне відхилення: Мода дискретного статистичного розподілу вибірки називається те значення варіанти , якому відповідає найбільша частота . Медіаною дискретного статистичного розподілу вибірки називається значення середнього елемента варіаційного ряду.