Тема: Функції випадкових величин.

Приклад 1. Студент шукає необхідну інформацію в мережі Internet. Ймовірність знайти протягом півгодини відповідь на питання, використовуючи Google, Yandex, Rambler дорівнює відповідно 0,8; 0,6 та 0,5. Студент робить 1 запит у Google; 2 запита у Yandex та 3 у Rambler. Знайти закон розподілу - кількість вдалих запитів серед 6 зроблених.

Розв’язання. - кількість вдалих запитів в Google; - кількість вдалих запитів в Yandex; - кількість вдалих запитів в Rambler. Знайдемо закон розподілу кожної з величин ;

	0,2	0,8

Закон розподілу

	0,16	0,48	0,36

Закон розподілу

	0,125	0,375	0,375	0,125

Знайдемо закон розподілу , у допоміжній таблиці проведемо розрахунки

	0 0,16	1 0,48	2 0,36
0 0,2	0 0,032	1 0,096	2 0,072
1 0,8	1 0,128	2 0,384	3 0,288

Закон розподілу випадкової величини

	0,032	0,224	0,456	0,288

Закон розподілу

 

	0 0,032	1 0,024	2 0,456	3 0,288
0 0,125	0 0,004	1 0,028	2 0,057	3 0,036
1 0,375	1 0,012	2 0,084	3 0,171	4 0,108
2 0,375	2 0,012	3 0,084	4 0,171	5 0,108
3 0,125	3 0,004	4 0,028	5 0,057	6 0,036

Остаточно закон розподілу

	0,004	0,04	0,153	0,295	0,307	0,165	0,036

Обчислимо , використовуючи властивості математичного сподівання .

Маємо

Відповідь.

Приклад 2. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням та дисперсією Знайти диференціальну функцію розподілу випадкової величини

Розв’язання. При для оберненою функцією є при обернена функція

Використовуючи формулу: отримуємо Тобто щільність розподілу має вигляд

Використовуючи останню формулу, маємо

При маємо

Індивідуальні завдання 7

1. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з Знайти щільність розподілу випадкової величини

2. Два мисливці роблять по три постріли. Ймовірність влучення для кожного з них Знайти закон розподілу випадкової величини - кількість вдалих пострілів, обчислити

Зауваження. Ввести дві дискретні випадкові величини - кількість влучень для першого та другого мисливців та розглянути

3. Випадкова величина розподілена рівномірно на проміжку Знайти закон розподілу випадкової величини обчислити

Тут - номер варіанту; - кількість літер у прізвищі; - кількість літер у повному імені.

Практичне заняття № 8

Тема: Розв’язання задач на основні закони розподілу дискретних випадкових величин.

Приклад 1. У кожному із 100 контейнерів міститься по 8 виробів першого сорту, а решта 2 – браковані. Із кожного контейнера навмання беруть по одному виробу. Визначити , для дискретної випадкової величини Х – поява числа виробів першого сорту серед 100 навмання взятих.

Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу. Із умови задачі маємо:

.

За формулами: дістанемо:

Приклад 2. У деякому населеному пункті маємо 0,01% дальтоніків. Навмання вибирають 5000 мешканців цього населеного пункту. Визначити випадкової величини Х – числа дальтоніків, яких буде виявлено серед 5000 навмання вибраних мешканців.

Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х розподілена за законом Пуассона. Із умови задачі: . Згідно з формулами ; дістанемо:

; ; .

Приклад 3. Гральний кубик підкидається до першої появи цифри 6. Визначити для випадкової величини Х числа здійснюваних підкидань.

Розв’язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, що має геометричний закон розподілу ймовірностей. За умовою задачі: . Скориставшись формулами: ; , дістанемо:

; ; .

Індивідуальні завдання 8

Варіант 1. Серед дев’яти однотипних виробів п’ять відповідають вимогам стандарту, а решта – ні. Навмання береться шість виробів. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити для цієї величини .

Варіант 2. Під час штампування валиків імовірність відхилення кожного валика від стандартного розміру дорівнює 0,15. За робочу зміну робітником було проштамповано 800 валиків. Знайти закон Х – числа валиків, що не відповідають стандартному розміру, та її основні числові характеристики

Варіант 3. У лабораторних умовах було висіяно 10000 насінин нового сорту ячменю. Імовірність того, що насінина ячменю не проросте в середньому становить 0,2. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – числа зернин ячменю, що проростуть, і обчислити .

Варіант 4. Радіотелефонна станція отримує цифровий текст. Унаслідок атмосферних завад імовірність спотворення цифри в середньому дорівнює 0,001. Було отримано текст, що налічує 2000 цифр. Знайти закон розподілу Х – числа спотворених цифр в отриманому тексті.

Варіант 5. В урні міститься 100 кульок, із них 80 білі, а решта чорні. Кульки із урни виймають навздогад по одній із поверненням. Знайти закон розподілу Х – числа проведених експериментів, якщо вони здійснюються до першої появи чорної кульки. Чому дорівнюють ?

Варіант 6. В електромережу містечка увімкнуто для освітлення вулиць у вечірню пору 20000 електролампочок. Імовірність того, що лампочка не перегорить протягом вечірнього часу дорівнює в середньому 0,95. Знайти закон розподілу Х – числа електролампочок, що не перегорять протягом вечірнього часу.

Варіант 7. Для космічного корабля ймовірність зіткнення його з метеоритом малої маси дорівнює 0,001 протягом одного оберту навкіл Землі. Космічний корабель здійснив 900 обертів. Знайти закон розподілу Х – числа зіткнень космічного корабля із метеоритами малої маси.

Варіант 8. Монета підкидається доти, доки вона випаде гербом. Знайти закон розподілу Х – числа здійснених підкидань.

Варіант 9. Робітник за зміну обслуговує 14 однотипних верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат за зміну потребує уваги робітника становить 1/7. Знайти закон розподілу Х – числа верстатів-автоматів, що потребують уваги робітника за зміну.

Варіант 10. За одну робочу зміну верстат-автомат виготовляє 400 однотипних деталей. Імовірність, що виготовлена верстатом деталь стандартна дорівнює 0,98. Знайти закон розподілу Х – числа стандартних деталей, виготовлених верстатом-автоматом за робочу зміну.

Варіант 11. Серед 12 однотипних телевізорів 8 відповідають вимогам стандарту, а решта – ні. Навмання вибирають 5 телевізорів. Знайти закон розподілу Х – числа телевізорів, що відповідають вимогам стандарту серед 5 навмання вибраних.

Варіант 12. Десять студентів складають залік з курсу „Вища математика”. Імовірність того, що студент складе залік, у середньому становить 0,91. Знайти закон розподілу Х – числа студентів, що складуть залік.

Варіант 13. Серед одинадцяти однотипних виробів сім відповідають вимогам стандарту, а решта – ні. Навмання береться вісім виробів. Знайти закон розподілу Х – появу числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити для цієї величини .

Варіант 14. Під час штампування валиків імовірність відхилення кожного валика від стандартного розміру дорівнює 0,13. За робочу зміну робітником було проштамповано 700 валиків. Знайти закон розподілу Х – числа валиків, що не відповідають стандартному розміру.

Варіант 15. У лабораторних умовах було висіяно 12000 насінин нового сорту ячменю. Імовірність того, що насінина ячменю не проросте в середньому становить 0,3. Визначити закон розподілу цілочислової випадкової величини Х – числа зернин ячменю, що проростуть, і обчислити .

Варіант 16. Радіотелефонна станція отримує цифровий текст. Унаслідок атмосферних завад імовірність спотворення цифри в середньому дорівнює 0,002. Було отримано текст, що налічує 2200 цифр. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа спотворених цифр в отриманому тексті.

Варіант 17. В урні міститься 110 кульок, із них 90 білі, а решта чорні. Кульки із урни виймають навздогад по одній із поверненням. Визначити закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа проведених експериментів, якщо вони здійснюються до першої появи чорної кульки. Чому дорівнюють ?

Варіант 18. В електромережу містечка увімкнуто для освітлення вулиць у вечірню пору 24000 електролампочок. Імовірність того, що лампочка не перегорить протягом вечірнього часу дорівнює в середньому 0,94. Знайти закон розподілу Х – числа електролампочок, що не перегорять протягом вечірнього часу.

Варіант 19. Для космічного корабля ймовірність зіткнення його з метеоритом малої маси дорівнює 0,0015 протягом одного оберту навкіл землі. Космічний корабель здійснив 1000 обертів. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа зіткнень космічного корабля із метеоритами малої маси.

Варіант 20. Робітник за зміну обслуговує 16 однотипних верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат за зміну потребує уваги робітника становить 1/6. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа верстатів-автоматів, що потребують уваги робітника за зміну.

Варіант 21. За одну робочу зміну верстат-автомат виготовляє 420 однотипних деталей. Імовірність, що виготовлена верстатом деталь стандартна дорівнює 0,7. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей, виготовлених верстатом-автоматом за робочу зміну.

Варіант 22. Серед 16 однотипних телевізорів 12 відповідають вимогам стандарту, а решта – ні. Навмання вибирають 6 телевізорів. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа телевізорів, що відповідають вимогам стандарту серед 14 навмання вибраних.

Варіант 23. Десять студентів складають залік з курсу „Вища математика”. Імовірність того, що студент складе залік, у середньому становить 0,92. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа студентів, що складуть залік.

Варіант 24. За одну робочу зміну верстат-автомат виготовляє 500 однотипних деталей. Імовірність, що виготовлена верстатом деталь стандартна дорівнює 0,75. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей, виготовлених верстатом-автоматом за робочу зміну.

Варіант 25. Десять студентів складають залік з курсу „Вища математика”. Імовірність того, що студент складе залік, у середньому становить 0,94. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа студентів, що складуть залік.

Варіант 26. Серед десяти однотипних виробів шість відповідають вимогам стандарту, а решта – ні. Навмання береться сім виробів. Знайти закон розподілу Х – появу числа виробів, що відповідають стандарту і обчислити для цієї величини .

Варіант 27. Під час штампування валиків імовірність відхилення кожного валика від стандартного розміру дорівнює 0,15. За робочу зміну робітником було проштамповано 750 валиків. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа валиків, що не відповідають стандартному розміру.

Варіант 28. У лабораторних умовах було висіяно 9000 насінин нового сорту ячменю. Імовірність того, що насінина ячменю не проросте в середньому становить 0,2. Знайти закон розподілу величини Х – числа зернин ячменю, що проростуть, і обчислити .

Варіант 29. Радіотелефонна станція отримує цифровий текст. Унаслідок атмосферних завад імовірність спотворення цифри в середньому дорівнює 0,001. Було отримано текст, що налічує 2400 цифр. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа спотворених цифр в отриманому тексті.

Варіант 30. В урні міститься 120 кульок, із них 100 білі, а решта чорні. Кульки із урни виймають навздогад по одній із поверненням. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа проведених експериментів, якщо вони здійснюються до першої появи чорної кульки. Чому дорівнюють ?

Варіант 31. В електромережу містечка увімкнуто для освітлення вулиць у вечірню пору 22000 електролампочок. Імовірність того, що лампочка не перегорить протягом вечірнього часу дорівнює в середньому 0,96. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа електролампочок, що не перегорять протягом вечірнього часу.

Варіант 32. Для космічного корабля ймовірність зіткнення його з метеоритом малої маси дорівнює 0,0012 протягом одного оберту навкіл землі. Космічний корабель здійснив 960 обертів. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа зіткнень космічного корабля із метеоритами малої маси.

Варіант 33. Робітник за зміну обслуговує 15 однотипних верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат за зміну потребує уваги робітника становить 1/5. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа верстатів-автоматів, що потребують уваги робітника за зміну.

Варіант 34. За одну робочу зміну верстат-автомат виготовляє 360 однотипних деталей. Імовірність, що виготовлена верстатом деталь стандартна дорівнює 0,9. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей, виготовлених верстатом-автоматом за робочу зміну.

Варіант 35. Серед 10 однотипних телевізорів 8 відповідають вимогам стандарту, а решта – ні. Навмання вибирають 6 телевізорів. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа телевізорів, що відповідають вимогам стандарту серед 9 навмання вибраних.

Практичне заняття № 9