Тема: обчислення ймовірностей за формулами та основними теоремами теорії ймовірностей.

Приклад 1. Для виконання одного завдання замовник звертається до двох незалежних виконавців. Імовірність того, що перший виконавець виконає замовлення дорівнює 0,7, а другий – 0,8. Знайти ймовірність того, що завдання замовника буде виконано.

Розв’язання. Позначимо події А ₁=„Завдання замовника виконано першим виконавцем”, А ₂ =„Завдання замовника виконано другим виконавцем”, подію А = „Завдання замовника виконано”.

Враховуючи, що виконання замовлення першим виконавцем не виключає виконання цього замовлення другим, тому події сумісні.

.

Ймовірність виконання замовлення першим виконавцем не залежить від того, чи виконав це завдання другий, тому події незалежні

.

Отже, .

Приклад 2. До центру статистичних досліджень надходить інформація з трьох незалежно працюючих пунктів: з першого 50%, з другого 30%, з третього 20% усієї інформації. Ймовірність допущення помилки при обробці статистичних даних з першого пункту дорівнює 0,1, з другого – 0,05, з третього 0,15. Яка ймовірність того, що отримана центром у даний момент часу інформація з помилкою? Отримана інформація не відповідає дійсності, обчислити ймовірність того, що помилка отримана при обробці інформації наданої третім пунктом.

Розв’язання. Розглянемо події: В ₁=„Інформація надійшла з першого пункту”, В ₂=„Інформація надійшла з другого пункту”, В ₃=„Інформація надійшла з третього пункту”, А – „інформація містить помилку”.

Події В ₁, В ₂, В ₃ несумісні й утворюють повну групу. Подія А відбулась одночасно з однією із цих подій.

 

 

За умовою задачі статистичні ймовірності подій дорівнюють:

Для підрахунку ймовірності події А, застосуємо теорему про повну ймовірність:

.

Для відповіді на друге запитання необхідна переоцінка ймовірностей даних подій. Застосуємо формулу Байєса:

.

Індивідуальні завдання 2

1. Податкові інспектори здійснюють перевірку діяльності підприємств: перший обслуговує а підприємств, серед яких с % не мають заборгованості, другий - b підприємств, із них d % - без заборгованості. Яка ймовірність того, що: а) навмання обране підприємство не має заборгованості; б) підприємство, що не має заборгованості, перевіряв перший інспектор?

2. У рекламному агентстві працює три групи дизайнерів. Перша обслуговує l фірм, друга – k, третя – m. Протягом одного місяця кошти, витрачені на рекламу дизайнерами першої групи, повертаються до z% фірм, другої – до h%, третьої – до v%. Яка ймовірність того, що:

а) навмання вибрана фірма окупила витрачені на рекламу кошти протягом місяця;

б) фірма, що окупила протягом місяця витрачені на рекламу кошти, обслуговувалася першою групою дизайнерів?

3. У першій групі 40-N студентів, у другій 18 студентів. В кожній з груп по два студенти, що не підготувалися до семінару. З кожної групи викликають по одному студенту. Яка ймовірність того, що а) обидва студенти підготувалися до семінару; б) один студент підготувався до семінару; в) хоча б один студент підготувався до семінару; г) обидва студенти не підготувалися до семінару.

4. Ймовірність своєчасної сплати податків для першого підприємства дорівнює , для другого – 0,6, для третього - 2/3. Визначити ймовірність своєчасної сплати податків: а) не більше ніж одним підприємством; б) лише одним підприємством; в) двома підприємствами; г) жодним підприємством; д) хоча б одним підприємством.

Варіант
a	c	b	d	l	k	m	z	h	V	p	q	w
											0,6	0,8	0,55
											0,75	0,63	0,6
											0,5	0,8	0,6
											0,58	0,6	0,75
											0,55	0,65	0,8
											0,82	0,68	0,5
											0,84	0,8	0,65
											0,7	0,62	0,8
											0,72	0,84	0,66
											0,75	0,78	0,82
											0,55	0,6	0,8
											0,6	0,75	0,63
											0,6	0,5	0,8
											0,8	0,6	0,5
											0,75	0,58	0,6
											0,8	0,55	0,65
											0,5	0,82	0,68
											0,65	0,84	0,8
											0,8	0,7	0,62
											0,66	0,72	0,84
											0,8	0,55	0,6
											0,63	0,6	0,75
											0,8	0,6	0,5
											0,6	0,58	0,8
											0,65	0,55	0,8
											0,68	0,5	0,82
											0,8	0,65	0,84
											0,62	0,8	0,7
											0,84	0,66	0,72
											0,78	0,75	0,82
											0,85	0,6	0,7
											0,9	0,8	0,85
											0,75	0,6	0,8
											0,8	0,75	0,7
											0,5	0,8	0,85

Практичне заняття № 3