Тема: Визначення закону розподілу одновимірних випадкових величин. Обчислення числових характеристик.

Приклад 1. Студент складає іспити з трьох предметів. Імовірність здати перший, другий і третій іспити відповідно дорівнюють

1) Скласти закон розподілу випадкової величини Х – числа іспитів, які складе студент.

2) Побудувати многокутник розподілу ймовірностей.

3) Знайти функцію розподілу та побудувати її графік, якщо

Розв’язання.

1. Можливі значення випадкової величини Х – це 0, 1, 2, 3. Позначимо події: А ­– студент здасть 1-й іспит; B ­– студент здасть 2-й іспит; С ­– студент здасть 3-й іспит.

Тоді значенню відповідає ситуація, коли студент не здасть жодного іспиту, тобто

Значенню Х=1 відповідає складна подія яка полягає у тому, що студент здасть лише один з трьох іспитів. Тоді

Значенню Х=2 відповідає складна подія яка полягає у тому, що студент здасть два іспити з трьох,

Значенню Х=3 відповідає найкраща ситуація, коли студент здасть всі три іспити, тоді

Складемо закон розподілу

	0	1	2	3
	0,006	0,092	0,398	0,504

Перевіримо умову нормування

2. Побудуємо многокутник розподілу - ламану лінію у точках з вершинами

 

– многокутник розподілу

імовірностей

 

1 2 3 х

 

3. Знайдемо функцію розподілу

Маємо:

Побудуємо графік функції розподілу:

 

 

Приклад 2. Проводяться чотири незалежних постріли по мішені. Імовірність влучення при одному пострілі постійна і дорівнює

1. Знайти закон розподілу – числа влучень у мішень.

2. Обчислити якщо

Розв’язання. За умовою задачі випадкова величина розподілена за біноміальними законом розподілу при

Випадкова величина може набувати таких значень:

Значення відповідає жодному влученню з чотирьох пострілів, тоді

Аналогічно обчислимо за формулою Бернуллі імовірності подій:

;

;

;

.

Складемо закон розподілу

 

Перевірка: + + + +

Перевіримо обчислені числові характеристики для біноміального закону розподілу за короткими формулами:

; ; .

Приклад 3. Студент підготував до заліку питань з питань програми. Білет містить питань.

1. Скласти закон розподілу - числа питань, на які студент знає відповіді.

2. Побудувати многокутник розподілу ймовірностей.

3. Обчислити числові характеристики розподілу: якщо

Розв’язання.

1) За умовою задачі розподіла за гіпергеометричним законом розподілу. Імовірність події обчислюємо за формулою:

Маємо:

Маємо закон розподілу :

 

2) Побудуємо многокутник розподілу імовірностей ДВВ з вершинами

.

 

0 1 2 3

 

многокутник розподілу імовірністей ДВВ .

3)

.

бо при .

Початкові моменти:

- початковий момент першого порядку

початковий момент 2-го порядку

початковий момент 3-го порядку

початковий момент 4-го порядку.

Центральні моменти:

- центральний момент 2-го порядку

- центральний момент 3-го порядку.

- центральний момент 4-го порядку.

Обчислимо асиметрію

Обчислимо ексцес

Приклад 4. Випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу:

1. Знайти невідомий параметр .

2. Знайти і побудувати її графік.

3. Знайти диференціальну функцію розподілу і побудувати її графік.

4. Обчислити

5. Обчислити

Розв’язання.

1. Для знаходження невідомого параметра використовуємо умову нормування для НВВ:

Знайдемо диференціальну функцію розподілу

Маємо

Розв’яжемо відносно рівняння звідки , Оскільки при правий кінець проміжка не узгоджується з лівим кінцем його то це значення є стороннім. Отже,

2. Знайдемо

Графік

 

 

3. Знайдемо

Графік

 

4.

Мода відсутня, маємо антимодальний закон розподілу.

Медіану знайдемо з умови

звідки

Знайдемо початкові моменти:

початковий момент 1-го порядку.

– початковий момент 2-го порядку.

– початковий момент 3-го порядку.

– початковий момент 4-го порядку.

Знайдемо центральні моменти , використовуючи значення початкових моментів :

­ – центральний момент 2-го порядку.

­ – центральний момент 3-го порядку.

­ – центральний момент 4-го порядку.

Обчислимо асиметрію: .

Обчислимо ексцес: .

5. Знайдемо .

Індивідуальні завдання 5

Завдання 1. Розв’язати задачу, представлену в прикладі 1, покладаючи де – номер Вашого варіанта.

Завдання 2. Розв’язати задачу, представлену в прикладі 2, покладаючи де - номер Вашого варіант.

Завдання 3. Розв’язати задачу, представлену в прикладі 3 при таких значеннях :

Варіанти 1-10:

Варіанти 11-20:

Варіанти 21-30:

Варіанти 31-35:

де К - номер Вашого варіанта.

Завдання 4. Випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу Виконати завдання прикладу 4 (в п. 5 задачі обчислити ймовірність ).

Практичне завдання № 6

Тема:Обчислення числових характеристик системи двох дискретних випадкових величин.

Приклад 1. Система двох дискретних випадкових величин задана таблицею розподілу.

х y	-1
			0,3
				0,05

 

1. Знайти невідомий параметр системи .

2. Знайти ряди розподілу кожної випадкової величини і та знайти одновимірні функції їх розподілів.

3. Обчислити числові характеристики системи : математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення, кореляційний момент, коефіцієнт кореляції.

4. Знайти умовний закон розподілу ДВВ при умові, що ДВВ набуває значення 1, та обчислити відповідне математичне сподівання.

5. Знайти умовний закон розподілу ДВВ при умові, що . Обчислити математичне сподівання цього розподілу.

6. Знайти закон розподілу ДВВ та обчислити .

7. Обчислити імовірність події .

Розв’язання.

1. Умова нормування ряду розподілу системи ДВВ : , де

Маємо: звідки

 

 

Маємо остаточно закон розподілу :

х y	-1
			0,3
				0,05

 

1. Знайдемо ряд розподілу одновимірної ДВВ :

; .

Отже, маємо ряд розподілу для ДВВ :

	0,8	0,2

 

Одновимірна функція цього розподілу має вигляд:

Знайдемо ряд розподілу для ДВВ :

; ; ; .

Отже, маємо закон розподілу ДВВ :

у	-1
р			0,3

 

Одновимірна функція розподілу має вигляд:

 

2. Обчислимо числові характеристики для системи ДВВ

Обчислимо кореляційний момент

де

Отже,

Оскільки то між ДВВ X та Y існує кореляційний зв'язок.

Оскільки то цей кореляційний зв'язок має «відємний» характер: із зростанням однієї величини інша величина спадає.

Коефіцієнт кореляції:

Оскільки то величина свідчить про помірний зв'язок між X таY.

3. Знайдемо умовний закон розподілу ДВВ при умові, що .

Користаючи формулою умовної імовірності

, маємо

.

Отже, маємо умовний закон розподілу ДВВ при умові :

	-1
р

 

Зауваження.Імовірність події ми знайшли в пункті 2.

5. Знайдемо умовний закон розподілу ДВВ X при умові

Отже, умовний закон розподілу ДВВ X при умові

	0,75	0,25

 

Зауваження.Імовірність ми знайшли в пункті 2.

6. Знайдемо закон розподілу ДВВ

Розмістимо у правих верхніх кутах клітин закону розподілу системи ДВВ значення як добуток відповідних рядка і стовпця, перетин яких утворює ці клітини.

 

 

Маємо:

y   x	-1
	-1   0,1	0,25	0,3	0,15
	-2     0,1	0,05		0,05

 

звідки

Отже, закон розподілу ДВВ :

U	-2	-1
P	0,1	0,1	0,3	0,3	0,15	0,05

 

7.Обчислимо користуючись законом розподілу системи ДВВ

х y	-1
			0,3
				0,05

 

Подія складається з суми несумісних подій тоді

Отже,

Індивідуальні завдання 6

Виконати всі завдання 1-7, представлені в прикладі 1 для системи двох дискретних величин , заданої таблицею розподілу.

Практичне заняття № 7