Дати означення закону та багатокутника розподілу ймовірностей д.в.в. Навести приклади.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули).

Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки (хі, рі), а потім з’єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.

Задати закон розподілу д.в.в. — це задати рівність рk=Р(Х=хk), яку можна розглядати як функцію. Функція розподілу для дискретної випадкової величини має вигляд

Наприклад, умовами лотереї передбачено: 1 виграш—100 грн., 2—50 грн., 8—10 грн., 19—1 грн. Знайти закон розподілу суми виграшу власником одного лотерейного білету, якщо продано 1000 білетів. Будемо шукати закон розподілу у вигляді ряду розподілу.

Х
Р(Х)	0.001	0.002	0.008	0.019	0.97

 

 

Де р(0)=1-(0.001+0.002+0.008+0.019)=1-0.03=0.97

Це табличний спосіб задання функції.

А, якщо задавати графічно, то треба взяти прямокутну систему координат. На осі асцис будемо відкладати можливі значення ДВВ, а на осі ординат — відповідні значення імовірності. Одержимо точки з координатами (х1, р1), (х2, р2), …, (хn, pn).

Р

р3

р4

 

 

р2

 

р1

р5

 

Поєднавши ці точки прямими, одержимо графік у вигляді многокутника розподілу випадкової дискретної величини.

 

 

2.3. Дати означення а) інтегральної; б) диференціальної функції розподілу н.в.в. Вказати їх основні властивості. Навести приклади.

Інтегральною функцією розподілу називають імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х. Функцію розподілу позначають F(x). Таким чином,

Якщо НВВ Х може приймати будь-яке значення з (a,b), то ,

тобто імовірність прийняття величиною Х значень з (a,b) дорівнює приросту функції розподілу.

Властивості інтегральної функції:

1)

2) — зростаюча функція, тобто , якщо ;

3)

Диференціальною функцією розподілу або щільністю імовірностей неперервної випадкової величини називають похідну першого порядку від її інтегральної іункції розподілу і позначають .

Властивості диференціальної функції:

1) , тому, що вона є похідною зростаючої функції ;

2) тому, що є похідною ;

3) тому, що подія — достовірна.

 

2.4. Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в) початкового та центрального моментів; г) асиметрії; д) ексцесу; е) моди; ж) медіани. Записати формулу для їх обчислення для д.в.в. та н.в.в.. Пояснити зміст букв, навести приклади.

Математичним сподівання Х називають число, яке дорівнює сумі добутків можливих значень Х на відповідні їм імовірності.

М(Х) або mX —математичне сподівання ДВВ.

Якщо Х приймає нескінченну кількість значень, то

.

Математичне сподівання для НВВ обчислюється за формулою

Де ;

—певне значення Х; — імовірність того, що Х приймає значення

 

Дисперсія Х — це число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення в.в. від її математичного сподівання.

— дисперсія величини Х.

Обчислення дисперсії для ДВВ:

Обчислення дисперсії для НВВ:

Початковим моментом порядку k в.в. Х називають математичне сподівання величини Хk і позначають , k=1,2,…,n.

Центральним моментом порядку k в.в. Х називають математичне сподівання величини і позначають k=1,2,…,n.

Асиметрією або коефіцієнтом асиметрії називається величина

— центральний момент 3-го порядку

— середнє квадратичне відхилення

Якщо AS=0 (AS ), то розподіл симетричний (асиметричний);

Якщо AS>0 (AS<0), то асиметрія правостороння (лівостороння).

Ексцес в.в. характеризує плоско- чи гостроверхість розподілу, порівняно з нормативним розподілом з тим же значенням дисперсії.

. Якщо ЕХ>0 (ЕХ<0), то розподіл гостроверхий (плосеоверхий).

При графічному способі зображення закону розподілу в.в., значення в.в. імовірність якого найбільша, називають модою (М0).

Медіана (Ме)— це середина відрізку між математичним сподіванням та модою.

 

2.5. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.

Математичне сподівання в.в. Х характеризує середнє значення Х із врахуванням ймовірностей його можливих значень. В практичній діяльності під математичним сподівання розуміють центр розподілу в.в.

Дисперсія характеризує розсіювання можливих значень Х відносно центру розподілу в.в.

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини характеризує величину розсіювання в.в. в розмірності цієї величини.

Асиметрія характеризує симетричний чи асиметричний розподіл та правосторонній чи лівосторонній.

Ексцес характеризує плосковерхість чи гостроверхість розподілу, порівняно з нормативним розподілом з тим же значенням дисперсії.

При графічному способі зображення закону розподілу в.в., значення в.в. імовірність якого найбільша, називають модою (М0).

Медіана (Ме)— це середина відрізку між математичним сподіванням та модою.