Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y на х(х на Y). Пояснити зміст позначень. Дати означення коефіцієнту регресії , залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.

Лінійна середньоквадратична регресія Y на Х має вигляд

g(X)=my+ (X – mx), де mx=М(Х), my=М(Y), σx= , σy= , r=μxy/(σxσy) – коефіцієнт кореляції величин Х та Y.

Виведення:

Введем у розгляд функцію двох незалежних аргументів та :

F(, )=M[Y - - X]2. (*)

Враховуючи, що М(Х – mx)=M(Y – my)=0,

M[(X - mx)*(Y - my)]= μxy=r σxσy та виконав викладки, отримаємо

F(, )= + - 2r σxσy +(my - - mx)2

Дослідим функцію F(, ) на екстремум, для чого прирівняєм 0 часткові похідні:

, σxσy=0

Звідси , mx

Легко впевнитися, що при цих значеннях та розглянута функція приймає найменше значення. Звідси лінійна середньоквадратична регресія Y та X має вигляд

g (X)= X= - mx+ X, або g(X)=my+ (X – mx),

Коефіцієнт = наз. коефіцієнтом регресії Y на X

Підставимо знайдені значення та у співвідношення (*), отримаємо мінімальне значення значення функції F(, ), яке дорівнює (1 – r2). Величину (1 – r2) наз. залишковою дисперсією в.в. Y відносно в.в. Х..Вона характеризує величину похибки, яку допускають при заміні Y лінійної функції g(X)= X. При r=+ -1 залишкова дисперсія =0

Аналогічно можно отримати пряму середньоквадратичної регресії Х на Y

X - mx=r (Y- my), де r - коефіцієнт регресії Х на Y.Залишкова дисперсія (1-r2) величини Х відносно Y.

Сформулювати теорему про корельованість складових нормально розподіленої двовимірної в.в.

а) Мат. сподівання двохвимірної випадкової величини (X, Y) характеризує координати центру розподілу випадкової величини. Ці координати знаходять за формулами:

Дисперсії DX та DY характеризують розсіювання випадкової точки (X, Y) вздовж координатних осей Ox та Oy, відповідно. Їх знаходять за формулами:

б) Условным мат. ожиданием ДСВ Y при X=x (x – определенное возможное значение X) называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

M(Y|X=x)= Для непрерывных величин , где - условная плотность случайной величины Y при X=x.

в) Для опису двохвимірної випадкової величини використовують також кореляційний момент (або коваріація): KXY=M((X-mX)(Y-mY))= . Корреляционным моментом μxy случайных величин X та Y называют мат. ожидание произведения отклонений этих величин. Для ДСВ: Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y.

г) коефіцієнт кореляції є кількісна характеристика залежності випадкових величин X та Y і часто використовуються в статистиці.

Коэффициенттом корреляции rxy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Дати означення функції випадкової величи. Записати формулу для находження щільності імовірностей фун-ції неперервного випадкового аргумента. Навести приклади побудови розподілу фун-ції д.в.в. та щільності імовірностей фун-ції н.в.в.

Н.В.В. Пусть х-действительное число. Вер-ть события, что Х примет значение, меньше х (Х <х), обозначим F(x)-фун-цией от х. Фун-цией распределения наз-ют фун-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х, т.е. F(x)=P(X<x). Геометр.смысл: F(x)-вер-ть того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Законом распределения дискр.случ.вел.есть соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Задается таблично, аналитически, графически.

Пример распределения фун-ции Д.В.В:

В лотерее 100 билетов. Разыгрывают 1выигрыш в 50руб. и 10 выигр. По 1 руб. Найти

Закон.распр.случ.величины Х-стоимости выигрыша для владельца одного билета.

Решение: X: x =50, x =1, x =0. p =0,01 =0,01 =1( =0,89. Закон распределения Х(50,10,0), р(0,01;0,1;0,89).

Плотностью распределения вероятностей н.в.в. Х называют фун-цию f(x)-первую производную от фун-ции распределения F(x):

f(x)= F’(x) Т.е. фун-ция распределения – первообразная для плотности распределения. Для описания распределения д.в.в. неприменима.

Приклад: Дано: F(x)= 0, x<0

x2/81 0<x<=9

1 x>9

f(x)=F’(x)

f(x)= 2x/81 x e (0;9] 0 x не належить (0;9]

2.25. Мат. сподівання ДВВ Х наз. число, яке = сумі добутків усіх можливих значень Х на відповідні їм імовірності.

М(Х)= для ДВВ

М(Х)= для НВВ

Дисперсією ДВВ Х наз. число, яке = мат. сподіванню квадрата відхилення ДВВ Х від її мат. сподівання.

D(X) = M((X- M(X)) ) для ДВВ

D(X) =