Що є предметом теорії імовірності?

Що є предметом теорії імовірності?

Предметом теорії імовірності є вивчення імовірних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

 

Дати означення підмножини скінченної (нескінченної), зліченої і незліченої. Навести приклад.

Підмножина – частина множини. Множина наз. скінченна (нескінченна) якщо вона містить скінченне (нескінченне) число елементів. Нескінченна множина наз. зліченою (незліченою) якщо її елементи можна (не можна) пронумерувати.

Приклад: А={1,2,3,5,8}- скінченна

B={2,9,6,8,....}-нескінченна

Суми, різниці та добутку множин. Навести приклади.

Сумою (об’єднанням, А ﮞ В= А+В) 2-х множин А і В наз. така множина С, елементи якої є всі елементи множини А і В.

Різницею А і В наз. С, яка складається з тих елементів множини А, які не входять в множину В.

Добутком (перетин А∩В=А*В) 2-х множин А і В наз. така множина С, елементи якої є елементами множини А і В.

Пр. А={1,2,4,8}, B={1,2,6,8,9,10}

А ﮞ В={1,2,8}, А∩В={1,2,4,6,8,9,10}, A-B={4}

Дати означення сполучення та розміщення із n елементів по k, переставлення із n елементів. Записати позначення. Навести приклади

Перестановками (Pn) наз. будь-яка впорядкована множина, яка скл. з N елементів. Pn=n!

Розміщення (Аnk)- будь-яка впорядкована півмножина з n елементів даної множини, яка містить k елементів, k ≤n. Розміщення відрізняється або складом елементів або їх порядком. Аnk= n!/(n-k)!

Сполучення (Сnk)- будь-яка півмножина з n елементів даної множини, яка містить k елементів. Одне сполучення відрізняється одне від одного лише складом елементів. Сnk= n!/(n-k)!k!

P3=3!=1*2*3=6, A42=4!/2!=3*4=12, C42=4!/2!2!=3*4/2=6

Записати формулу, що пов’язує число переставлень, сполучень та розміщень. Сформулювати правила суми та добутку, що вик при розв’язуванні комбінаторних задач. Навести приклади.

Числа перестановок, сполучень та розміщень пов’язані нерівністю: Аnk= Pk Сnk

Нехай множина А містить ел. Аі, де і змінюється від 1 до n; множина В, вj (j=1до k)

Правило сум: якщо множини А і В не перетинаються, тобто А∩В=0, то множина, яка є об’єднанням цих множин АﮞВ містить n+k елементів.

Правило добутку: множина С усіх можливих пар (аі, вj) містить n*k елементів.

 

 

Дати означення випадкового експерименту, випадкової події, неможливої та достовірної подій. Навести приклади. Дати означення елементарного наслідку випадкового експерименту, простору елементарних наслідків.

Експериментом або випробуванням наз. реалізація певної сукупності умов в результаті якої настає або відбувається певний наслідок або подія. Експеримент наз. детермінованим, якщо в результаті його проведення завжди настає або не настає певна подія, яка також наз. детермінованою. При цьому якщо детермінована подія настає або не настає вона наз. достовірною і позначається літерою U або неможливою (V). Події наз. рівно можливими якщо немає підстав вважати, що поява однієї з них є більш можливим за появу другої (напр. поява того чи іншого числа очків на гральних костях – рівно можливі події). Експеримент наз. випадковим, якщо в результаті його проведення деяка подія може настати, а може і не настати. При цьому допускається, що цей експеримент може (не може) бути повторений скільки завгодно раз. Подія, що настає в результаті невизначеного (випадкового) експерименту наз. випадковою.

 

Дати означення сумісних, несумісних та попарно несумісних подій. Навести приклади.

Дві події називаються несумісними – якщо їх перетин є неможливою подією. А∩В=V. Дві події називаються сумісними, якщо їх перетин не є неможливою подією. А∩В≠V. Події А1, А2,..., Аn називаються попарно несумісними, якщо кожні дві з них є несумісними. Приклад: несумісні - В результаті одного підкидання монети не може результатом бути і герб і цифра

 

Дати означення суми (об’єднання), різниці та добутку (перетину) подій, протилежної події, повної групи подій. Навести приклади.

Сумою (об’єднання) подій А1, А2,..., Аn називається така подія В, яка полягає в тому, що настане хоча б одна з подій А1, А2,..., Аn. В=А1UA2U…UAn. Добутком (перетином) подій А1, А2,..., Аn називається така подія С, яка полягає в тому, що настане подія А1 і А2 і Аn. С=А1∩ А2∩... ∩ Аn. Повна група подій – утворюється, якщо події А1, А2,..., Аn попарно несумісні і їх об’єднання є достовірна подія. (А1UA2U…UAn=U). Якщо повну групу подій утворюють дві події, то вони називаються протилежними (А, А').

Приклади: Повна група подій – результатом підкидання двох монет.

Як випадкова подія виражається через елементарні наслідки випадкового експерименту? Які елементарні наслідки називаються такими, що сприяють появі даної події? Навести приклади.

Випадкова подія є результат експерименту, поява якого заздалегідь не відома, але належить певній множині елементарних наслідків. Елементарний наслідок, імовірність якого є найбільш наближене до 1 ніж інших елементарних наслідків, сприяє появі даної події.

Приклад: 1. Елементарним наслідком при киданні грального кубика є поява однієї з шести цифр. 2. Поява цифр кратних двом, є більш імовірною, ніж поява цифр кратних трьом. (1/2;1/3 відповідно).

 

Геометричне визначення).

 

Імовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри g до міри G. Вона використовується у випадках, коли простір елементарних наслідків є незлічена множина : Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, наз. частотою. Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки n наз. відносною частотою, причому, сума усіх відносних частот .

 

Дати означення функції випадкової величи. Записати формулу для находження щільності імовірностей фун-ції неперервного випадкового аргумента. Навести приклади побудови розподілу фун-ції д.в.в. та щільності імовірностей фун-ції н.в.в.

Н.В.В. Пусть х-действительное число. Вер-ть события, что Х примет значение, меньше х (Х <х), обозначим F(x)-фун-цией от х. Фун-цией распределения наз-ют фун-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х, т.е. F(x)=P(X<x). Геометр.смысл: F(x)-вер-ть того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Законом распределения дискр.случ.вел.есть соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Задается таблично, аналитически, графически.

Пример распределения фун-ции Д.В.В:

В лотерее 100 билетов. Разыгрывают 1выигрыш в 50руб. и 10 выигр. По 1 руб. Найти

Закон.распр.случ.величины Х-стоимости выигрыша для владельца одного билета.

Решение: X: x =50, x =1, x =0. p =0,01 =0,01 =1( =0,89. Закон распределения Х(50,10,0), р(0,01;0,1;0,89).

Плотностью распределения вероятностей н.в.в. Х называют фун-цию f(x)-первую производную от фун-ции распределения F(x):

f(x)= F’(x) Т.е. фун-ция распределения – первообразная для плотности распределения. Для описания распределения д.в.в. неприменима.

Приклад: Дано: F(x)= 0, x<0

x2/81 0<x<=9

1 x>9

f(x)=F’(x)

f(x)= 2x/81 x e (0;9] 0 x не належить (0;9]

2.25. Мат. сподівання ДВВ Х наз. число, яке = сумі добутків усіх можливих значень Х на відповідні їм імовірності.

М(Х)= для ДВВ

М(Х)= для НВВ

Дисперсією ДВВ Х наз. число, яке = мат. сподіванню квадрата відхилення ДВВ Х від її мат. сподівання.

D(X) = M((X- M(X)) ) для ДВВ

D(X) =

 

Що є предметом теорії імовірності?

Предметом теорії імовірності є вивчення імовірних закономірностей масових однорідних випадкових подій.