Нормальное распределение случайной величины

Нормальное распределение часто используется для описания случайных явлений, в которых на результат измерения влияет большое число независимых случайных факторов.

Определение. Случайная величина ξ имеет нормальное или гауссовскоераспределение, еслиее плотность распределения вероятностей при всех x задается равенством . (2.29)

Числа m и σ называются параметрами распределения: параметр m может быть любым действительным числом: -∞ < m < + ∞, а параметр σ – положительным:σ>0. Символическая запись означает, что cлучайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ².

 

 

 

Отметим некоторые свойства графика этой функции (кривой нормального распределения).

Во-первых, функция принимает максимальное значение при x=m.

Во-вторых, функция симметрична относительно вертикальной прямой x=m.

В-третьих, асимптотой кривой нормального распределения является ось О х. Особую роль играет нормальное распределение с параметрами m= 0, σ= 1, которое часто называют стандартным (или нормированным) нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид

, (2.30) Ниже приведен график y = f ₀(x).

 

 

 

Функция распределения случайной величины, имеющей нормальный закон, может быть представлена в виде несобственного интеграла

F(x) = . (2.31)

Функцию распределения стандартного нормального закона

Ф(х) = (2.32)

часто называют функцией Лапласа, для которой имеются таблицы значений, широко используемые в статистических исследованиях. Рассмотрим свойства нормального распределения.

Свойство 1. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ,т.е. . Тогда математическое ожидание равно параметру m, а дисперсия равна σ², т.е.

M (ξ)= m; D( ξ)=σ².

Свойство 2. Между функциями распределения F(x) и имеет место следующее соотношение

. (2.33)

Таблицы значений функции не содержат значений при x <0. В таких случаях можно использовать следующее свойство.

Свойство 3. При любых значениях x имеет место равенство

. (2.34)

Следующее свойство позволяет вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал, используя таблицы значений функции .

Свойство 4. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ, т.е. . Тогда вероятность попадания случайной величины ξ в интервал [ a,b ] можно найти по формуле

. (2.35)

В частности, для симметричного интервала относительно m имеет место формула для любого :

. (2.36)

Формула (2.36) непосредственно следует из (2.35), в которой надо положить и использовать свойство, что . Тогда получим

.

Свойство 5 (закон трех сигм). Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ,т.е. . Тогда с вероятностью больше 0,99 значения случайной величины содержатся в интервале

Действительно, по свойству 4, . Из таблицы функций находим значение =0,9987. Отсюда следует, что

 

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение служит вероятностной моделью для многих явлений. Рассмотрим последовательность n независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых может произойти один из двух исходов. Обозначим через p вероятность «успеха» в отдельном испытании и - q вероятность «неудачи». Для каждого отдельного испытания i введем случайную величину , которая может принимать два значения: 1, если испытание закончилось «успехом» и 0, если – «неудачей». Случайная величина η - число «успехов» при n независимых испытаниях в схеме Бернулли будет равна сумме независимых случайных величин , т.е. . (2.37)

Отсюда следует, что случайная величина η может принимать возможные значения m= 0,2,…, n. Вероятность того, что случайная величина η после завершения всех испытаний примет значение m можно найти по формуле Бернулли

P (η =m) = , m= 0, 1, …, n. (2.38)

Определение. Случайная величина η имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения, m= 0, 1,…, n с вероятностями по формулам (2.38).

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей биномиальное распределение. Из формулы (2.20) и свойств математического ожидания и дисперсии для суммы несовместных случайных

величин следует, что

,

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины будут соответственно равны

M (x_i)=1 p+ 0 q=p,

D (x_i)=1² p+ 0² q – p ² =pq.

Для случайной величиныη, имеющей биномиальное распределение с параметрами n и p, математическое ожидание и дисперсия имеют вид:

M (η)= np, D (η) =npq.

Пример 2.9. В коробке находятся 3 однотипных изделия, при этом каждое может быть или бракованным, или стандартным. Рассмотрим случайную величину, которая определяет число бракованных изделий в коробке. «Успехом» отдельного испытания будем считать наличие в коробке некоторого числа бракованных изделий. Тогда случайная величина x может принять значения x ₁ = 0, x ₂=1, x ₃=2, x ₄=3 (варианты количества бракованных изделий)и имеет биномиальное распределение. Требуется найти вероятности событий, которые будут соответствовать значениям случайной величины. Последовательно при i= 0, 1, 2, 3из формулы (2.38) получим вероятности для возможных значений этой случайной величины:

p ₁ =P (x = 0)= ; p ₂ =P (x = 1)= ;

p ₃ =P (x = 2) = ; p₄ =P (x = 3) = .

Теперь можно записать таблицу для ряда распределения:

x
pi	q ^3	3 pq ^2	3 p ^2 q	p ^3

Математическое ожидание и дисперсию находим по формулам (2.21) и (2.23) соответственно

M (x)=3 p, D (x)=3 p q.

 

Распределение Пуассона

Определение. Случайная величина x распределена по закону Пуассона с параметром распределения l>0, если она принимает значения m = 0,1, 2,…

с вероятностями

p_m = P (x =m) = , m = 0,1,2,… (2.39)

Пример 2. 10. Рассмотрим случайную величину x,равную числу покупателей, посетивших супермаркет в промежутке времени от t ₀ до T. Появление покупателей - случайные события и происходят в случайные моменты времени.

Сделаем следующие предположения.

1. Вероятность появления одного покупателя за малый промежуток времени пропорциональна , т. е. равна

а > 0,

где - бесконечно малая величина при .

2. Если за малый промежуток времени уже произошло одно событие, то условная вероятность появления в этом же промежутке другого события стремится к 0 при

3. События на непересекающихся промежутках времени являются независимыми случайными величинами.

В этих условиях можно доказать, что число покупателей, посетивших супермаркет в промежутке времени от t ₀ до T распределено по закону Пуассона с параметром

 

Вопросы для самопроверки

1. Как вычислить математическое ожидание и дисперсию:

а) для дискретной случайной величины?

б) для непрерывной случайной величины?

2. Как найти плотность вероятности для случайной величины, имеющей равномерное распределение?

3. Что такое нормально распределенная случайная величина?

4. Какие другие законы распределения известны?