Понятие статистической гипотезы о виде распределения

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (например, ), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону . Выдвинутую гипотезу называют нулевой (основной) и обозначают H ₀. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и альтернативную ей гипотезу H ₁, исключающую основную гипотезу.

Выдвинутая гипотеза H₀ может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Гипотезу проверяют на основании выборки, полученной из генеральной совокупности. Из-за случайности выборки в результате проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неверное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что H₀ отвергают, хотя в действительности она верна. Ошибка второго рода состоит в том, что принимают H₀, хотя в действительности верна H₁.

Допустимая вероятность ошибки первого рода обозначается через α и называется уровнем значимости. Значение ά обычно мало и устанавливается самим исследователем в зависимости от характера и важности решаемых задач. Уровень значимости, например, ά = 0,05, означает, что в среднем в 5 случаях из 100 имеется риск отвергнуть верную гипотезу H₀.

Решение относительно гипотезы H₀ принимается по значению некоторой случайной величины , которая называется критерием согласия. Это такая специально подобранная величина, которая подчиняется при выполнении гипотезы H₀ некоторому известному закону распределения. Значения зависят от выборочных данных и позволяют судить о “расхождении выборки с гипотезой H₀ ”.

Множество значений критерия согласия можно разделить на два непересекающихся подмножества: подмножество значений критерия, при которых гипотеза H₀ отвергается (отклоняется), называют критической областью; подмножество значений критерия, при которых гипотеза H₀ не отклоняется, называется областью принятия гипотезы. Критическим значением называют значение, отделяющее критическую область от области принятия гипотезы. Критическое значение критерия определяется исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет значение, большее , была равна принятому уровню значимости:

.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Принцип проверки гипотезы и принятия заключения о совместимости выборочных данных с выдвинутой гипотезой состоит в следующем: если наблюдаемое значение критерия, вычисленное по выборке, принадлежит критической области – нулевую гипотезу отвергают, как не согласующуюся с результатами наблюдений, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – расхождение выборочных данных с предполагаемым законом распределения не существенно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Вывод “гипотеза H₀ не отвергается” не означает, что H₀ является единственно подходящей гипотезой: просто расхождение между выборочными данными и гипотезой H₀ невелико, или иначе H₀ не противоречит результатам наблюдений; однако таким же свойством наряду с H₀ могут обладать и другие гипотезы.

Критерий согласия Пирсона

Предположим, что выполнено измерений некоторой случайной величины ξ: ,..., , (4.4)

и есть основания полагать, что результаты распределены нормально с плотностью вероятности

. (4.5)

Параметры закона распределения и σ обычно неизвестны. Вместо неизвестных параметров подставляют значения их оценок, которые вычисляют по следующим формулам:

, (4.6)

. (4.7)

 

В качестве критерия проверки выдвинутой гипотезы примем критерий согласия Пирсона (критерий согласия “хи- квадрат”)

, (4.8)

где – число интервалов, на которые разбито выборочное распределение, - частоты эмпирического распределения; – частоты теоретического распределения. Из формулы вытекает, что критерий характеризует близость эмпирического и теоретического распределений: чем меньше различаются и , тем меньше значение χ².

Доказано, что при закон распределения случайной величины (4.8) независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения χ² с степенями свободы. Число степеней свободы определяется равенством , где - число частичных интервалов; – число параметров предполагаемого распределения, которые были оценены. Для нормального распределения оцениваются два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому .

В соответствии с процедурой проверки гипотезы следует вычислить наблюдаемое значение критерия. Чтобы вычислить частоты эмпирического распределения, весь интервал наблюдаемых значений делят на частичных интервалов (бинов) точками :

. (4.9)

определяют, подсчитав число измерений (4.4), которые попадают в - й интервал .

Используя теоретический закон распределения (4.5) можно рассчитать ожидаемое число результатов измерений для каждого интервала . Вероятность того, что результат одного измерения попадает в интервал , равна

, (4.10)

где – интегральный закон нормального распределения: . Учитывая, что функция распределения с параметрами и σ связана со стандартной нормальной функцией формулой , соотношение (4.10) можно записать в следующем виде:

. (4.11)

 

Поскольку проводится не одно, а измерений и эти измерения независимы, то их можно рассматривать как испытаний Бернулли, в которых “успехом” считается попадание результата измерения в интервал . Тогда числа вычисляются по формуле

(4.12)

(математическое ожидание числа “успехов” при испытаниях).

Для заданного уровня значимости по таблицам определяют критическое значение критерия. Сравнивая наблюдаемое и критическое значения критерия делают, вывод о соответствии экспериментальных данных предполагаемому закону распределения.

Пример 4.1. Проверить с помощью критерия χ² при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что выборка объема , представленная интервальным вариационным рядом в таблице 4.4, извлечена из нормальной генеральной совокупности.

Таблица 4.4

Номер интервала i	Границы Интервала	Частота
	0 – 2
	2 – 4
	4 –6
	6 – 8
	8 – 10

Решение. 1. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы: H₀ – эмпирическое распределение соответствует нормальному; H₁ - эмпирическое распределение не соответствует нормальному.

Для проверки нулевой гипотезы необходимо рассчитать наблюдаемое значение критерия χ²_набл по формуле (4.8) и сравнить его с критическим значением χ²_кр.

2. Определим параметры предполагаемого (теоретического) нормального закона распределения.

Найдем середины интервалов и относительные частоты . Получим следующие значения:

 

 

Оценку математического ожидания найдем по формуле (4.1):

 

.

 

Оценки дисперсии и стандартного отклонения вычислим по формулам (4.2) и (4.3):

 

 

;

 

.

 

3. Выполним расчет теоретических частот по формуле (4.12). Для вычисления вероятностей по формуле (4.11) воспользуемся таблицей В Приложения со значениями нормальной стандартной функции распределения. При этом наименьшее значение, т. е. , полагаем равным , а наибольшее, т.е. , полагаем равным . Последовательно находим для интервала (-∞, 2)

и ;

для интервала находим

и ;

для интервала (4,6) соответственно:

;

для интервала (6,8):

и ;

для интервала вычислим

;

.

4. По формуле (4.8) найдем значение :

.

5. По таблице квантилей распределения χ² (см. таблицу С Приложения) с числом степеней свободы находим, что χ²_кр = 6,0 для .

Поскольку (), то можно считать, что гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит опытным данным.