Пространство элементарных событий

Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений. Предположим, что производится некоторый эксперимент, исход (результат) которого непредсказуем. Множество тех исходов данного эксперимента, которые не могут происходить одновременно и появление одного и только одного из них обязательно произойдет, называют пространством элементарных событий, а сами исходы называют элементарными событиями. Пространство элементарных событий обозначают W, а элементарное событие - w. Пространство элементарных событий называют конечным, если множество элементарных событий конечно и - бесконечным в противном случае.

Рассмотрим некоторые примеры пространств элементарных событий.

Пример 1.4. Игральный кубик, имеющий шесть граней с изображением на каждой числа точек (1,2,3,4,5,6), подбрасывают один раз. Результатами этого эксперимента будем считать число очков, выпавшее на верхней грани кубика. Следовательно, пространство элементарных событий состоит из множества W = {w₁, w₂ , w₃ , w₄ , w₅ ,w₆}, где элементарное событие w_i обозначает число очков i, выпавшее на верхней грани кубика.

Пример 1.5. Эксперимент состоит в наблюдении числа автомобилей, обслуживаемых автозаправочной станцией с 12 до 15 часов. В этом случае элементарные события можно выразить числами 0,1,2…. Очевидно, что число обслуживаемых автомобилей в течение рассматриваемого промежутка времени конечно, но точно предсказать их число невозможно. Поэтому будем считать, что пространство элементарных событий состоит из бесконечного множества

W = {0,1,2,…}.

Пример 1.6. Игральный кубик подбрасывают один раз. Рассмотрим следующие события: A = {выпало четное число},

B = {выпало нечетное число},

C = {выпало число £3}.

Каждое из этих событий отождествим с множеством всех исходов, при которых они наступают. Тогда события

A ={ w₂ ,w₄ ,w₆}, B = {w₁,w₃,w₅}, C= {w₁,w₂,w₃}.

Отсюда видно, что все эти события являются подмножествами пространства элементарных событий.

 

Классификация событий

Для конечных пространств элементарных событий отождествим событие и множество всех исходов, при которых данное событие наступает. Эти исходы называют элементарными событиями, благоприятствующими данному событию. Для конечных пространств элементарных событий событие – это множество всех исходов ему благоприятствующих. Такой подход к определению случайного события позволяет применять теорию множеств.

Определение. Невозможным событием называется событие, которое не может наступить в условиях данного эксперимента, т.е. это событие имеет пустое множество благоприятствующих исходов.

Например, пусть событие D = {на верхней грани кубика выпало число > 7}. Это событие является невозможным и ему соответствует пустое множество Æ благоприятствующих исходов. Будем невозможное событие обозначать символом Æ.

Определение. Достоверным называется событие W, которое всегда наступает в условиях данного эксперимента. Множество благоприятствующих исходов достоверного события совпадает с пространством элементарных событий W.

Пусть событие E = {на верхней грани кубика выпало число <= 7}. Это событие является достоверным и множество благоприятствующих ему исходов совпадает с пространством элементарных событий.

Определение. Если при каждом осуществлении события A происходит событие B, то говорят, что событие A влечет событие B. В этом случае множество благоприятствующих исходов события A содержится в множестве благоприятствующих исходов события B, т.е. .

Определение. События А и В называются эквивалентными, если событие А влечет событие В, а событие В влечет А.

Определение. Событие =W- A называется противоположным событию A. Множество благоприятствующих исходов события является дополнением до пространства элементарных событий W множества благоприятствующих исходов события A (или появление события -это непоявление события А).

Определение. События A и B называются несовместными, если они не могут произойти вместе.