Элементы комбинаторики. Пространство элементарных

Событий. Определения вероятности

 

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов . Перестановкой на множестве из n элементов называется всякое упорядоченное множество, состоящее из этих n элементов. Число перестановок на множестве из n элементов Р_n определяется по формуле .

Две различные перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов.

Пример 1.1. Имеется четыре вакантных должности и четыре претендента на эти должности. Сколькими способами можно заполнить эти должности?

Решение. Р ₄ = 4! = 24.

Размещением на множестве из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два размещения считаются различными, если они состоят из различных элементов, или состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов в наборе. Число размещений на множестве из n элементов по m элементов определяется формулой

Пример 1.2. Сколькими способами можно рассадить по 3 студента за стол в группе из 20 студентов?

Решение. .

Сочетанием на множестве из n элементов по m элементов называется всякое неупорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний на множестве из п элементов по т элементов определяется формулой .

Пример 1.3. В ящике 5 деталей. Сколькими способами из ящика можно взять 3 детали?

Решение. .

Классическое определение вероятности. Элементарным событием или исходом называется всякая возможная реализация эксперимента. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий. Любое подмножество пространства элементарных исходов называется случайным событием. Исход v_i благоприятствует событию А, если появление исхода v_i влечет появление события А. Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу равновозможных исходов.

,

где п – общее число исходов;

т – число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Пример 1.4. В группе 8 юношей и 5 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 13 студентов можно отобрать по 5 студентов . Благоприятствовать событию А будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша . Тогда .

Геометрическое определение вероятности. Пусть указана область W, из которой наугад выбирается точка. Вероятность того, что выбранная точка одновременно попадет в область А (А Ì W) пропорциональна мере области А (длине, площади, объему): . Понятие геометрической вероятности обобщает классическое определение вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов.

Пример 1.5. Случайно поставленная точка принадлежит квадрату со стороной 4. Найти вероятность того, что она попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно поставленная точка попадет в круг, вписанный в квадрат. Тогда .

Статистическое определение вероятности. Пусть некоторый эксперимент повторяют п раз, в результате этого событие А наступило т раз. Относительной частотой события А называется отношение количества испытаний, в которых наступило событие А, к общему числу проведенных испытаний:

 

.

 

Если число испытаний неограниченно увеличивать, то относительная частота события «стремится» к вероятности наступления события А. Поэтому при статистическом определении вероятности полагают .