Элементы комбинаторики. Пространство элементарных 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Элементы комбинаторики. Пространство элементарных



Событий. Определения вероятности

 

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов . Перестановкой на множестве из n элементов называется всякое упорядоченное множество, состоящее из этих n элементов. Число перестановок на множестве из n элементов Рn определяется по формуле .

Две различные перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов.

Пример 1.1. Имеется четыре вакантных должности и четыре претендента на эти должности. Сколькими способами можно заполнить эти должности?

Решение. Р 4 = 4! = 24.

Размещением на множестве из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два размещения считаются различными, если они состоят из различных элементов, или состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов в наборе. Число размещений на множестве из n элементов по m элементов определяется формулой

Пример 1.2. Сколькими способами можно рассадить по 3 студента за стол в группе из 20 студентов?

Решение. .

Сочетанием на множестве из n элементов по m элементов называется всякое неупорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний на множестве из п элементов по т элементов определяется формулой .

Пример 1.3. В ящике 5 деталей. Сколькими способами из ящика можно взять 3 детали?

Решение. .

Классическое определение вероятности. Элементарным событием или исходом называется всякая возможная реализация эксперимента. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий. Любое подмножество пространства элементарных исходов называется случайным событием. Исход vi благоприятствует событию А, если появление исхода vi влечет появление события А. Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу равновозможных исходов.

,

где п – общее число исходов;

т – число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Пример 1.4. В группе 8 юношей и 5 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 13 студентов можно отобрать по 5 студентов . Благоприятствовать событию А будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша . Тогда .

Геометрическое определение вероятности. Пусть указана область W, из которой наугад выбирается точка. Вероятность того, что выбранная точка одновременно попадет в область А (А Ì W) пропорциональна мере области А (длине, площади, объему): . Понятие геометрической вероятности обобщает классическое определение вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов.

Пример 1.5. Случайно поставленная точка принадлежит квадрату со стороной 4. Найти вероятность того, что она попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно поставленная точка попадет в круг, вписанный в квадрат. Тогда .

Статистическое определение вероятности. Пусть некоторый эксперимент повторяют п раз, в результате этого событие А наступило т раз. Относительной частотой события А называется отношение количества испытаний, в которых наступило событие А, к общему числу проведенных испытаний:

 

.

 

Если число испытаний неограниченно увеличивать, то относительная частота события «стремится» к вероятности наступления события А. Поэтому при статистическом определении вероятности полагают .

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 429; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.206.238.189 (0.005 с.)