Функция распределения СВ и ее свойства

Функцией распределения СВ (интегральной функцией распределения) называется функция , равная вероятности того, что СВ Х принимает значение меньшее х, т. е. .

Свойства функции распределения:

1) ;

2) – неубывающая функция, т. е. ;

3) ;

4) ;

5) функция распределения непрерывна слева: ;

6) если СВ принимает значение х_i c вероятностью р_i, то ;

7) еслиСВ Х является непрерывной, то .

 

Плотность распределения вероятностей СВ

Плотностью распределения СВ (дифференциальной функцией распределения) называется такая функция р (х), что .

Свойства плотности распределения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Чтобы задать закон распределения непрерывной СВ необходимо задать или плотность распределения, или функцию распределения.

Пример 5.1. Партия изделий содержит 10 % нестандартных. Пусть СВ Х – число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения СВ и записать функцию распределения.

Решение. СВ Х может принимать значения х_k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность найдем по формуле Бернулли: . По условию задачи .

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

.

Запишем закон распределения СВ

 

хi
pi	0,00001	0,00045	0,0081	0,0729	0,32805	0,59049

 

Найдем функцию распределения. По определению:

 

.

При ,

при ,

при ,

при ,

при ,

при ,

при .

Окончательно

 

Пример 5.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:

 

Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.

Решение. Значение параметра с определим, используя свойство плотности распределения: .

 

.

 

Функцию распределения определим из условия .

Для ,

для ,

для .

Значит,

 

Пример 5.3. Дана функция распределения СВ:

 

 

Нужно определить плотность распределения.

Решение. Плотность распределения определим из свойства плотности распределения: .

Числовые характеристики СВ

К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М (Х), дисперсия D (Х), среднее квадратическое отклонение s(Х), начальные и центральные моменты и др.

 

Математическое ожидание и его свойства

Дискретная СВ принимает значения с вероятностями . Математическим ожиданием СВ называется число М (Х), которое определяется соотношением

 

.

 

Если непрерывная СВ задана плотностью распределения , то математическое ожидание определяется интегралом .

Математическое ожидание характеризует среднее значениеСВ.

Свойства математического ожидания:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если СВ X и Y независимы.

 

Дисперсия и ее свойства

Начальным моментом k-го порядка называется математическое ожидание СВ Х^k.

Для дискретных случайных величин

.

Для непрерывных случайных величин

.

Центральным моментом k-ого порядка называется математическое ожидание СВ .

Для дискретных случайных величин:

.

Для непрерывных случайных величин:

.

Дисперсией называется центральный момент второго порядка:

.

Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относительно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности математического ожидания квадрата СВ и квадрата математического ожидания.

.

 

Свойства дисперсии:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , X, Y – независимые СВ.

Средним квадратическим отклонением СВ называется корень квадратный из дисперсии СВ:

 

.

Пример 6.1. Дискретная СВ задана законом распределения. Требуется найти М (Х), D (X), s(X).

 

xi
pi	0,1	0,3	0,4	0,2

Решение.

,

,

 

,

 

.

 

Пример 6.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:

 

 

Требуется вычислить М (Х), D (X), s(X).

Решение.

,

 

,

 

,

 

.

Законы распределения СВ