Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда

.

• Пусть , и . Тогда условное распределение при условии, что , биномиально. Более точно:

.

 

11.Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения, и их Свойства. Механическая интерпретация. Свойства мат. Ожидания и дисперсии. Квантили. Мода. Медиана. Асимметрия и эксцесс. Случайная величина Х называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная частично-непрерывная функция f(x), удовлетворяющая для любых значений x равенству (случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал). f_x - плотность распределения вероятностей (плотность распр-я единичной массы на инт-ле). Св-ва:

если x [a;b]: 1. f(x)>=0; 2. ; ;

если : 1. f(x)>=0; 2. ; - норм.распр-е.

 

F(x) – ф-я распределения для непрер.случ.величин, определена на всей числовой оси, ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х. Свойства:

1. 0 <=F(X)<= 1

2. F(- )=0

3. F(+ )=1

4. F(X)-неубыв.ф-я

5.

6. F(X)=dF(X)/dx

7. - вер-ть попадания в отрезок [c;d].

Мат.ожидание: , , где f(x)dx=P[x<X<x+dx] – элемент вер-ти. Свойства:

1. M[cX]=cM[X]

2. M[c+X]=c+M[X]

3. M[X+Y]=M[X]+M[Y]

4. = ,

Дисперсия: , .

Начальный момент k-го порядка - ;

Центральный момент k-го порядка - .

Асимметрия - , где - ср.квадратич.отклонение

Эксцесс – хар-ет форму распред-я в окрестности вершины

Квантиль – абсцисса (точка на оси х), которая слева от себя отделяет площадь под графиком плотности, равную Р. F(x_p)=P – порядок квантили. 1. ; 2. . Квантиль порядка 0,5 – х_0,5 – для любого распр-я наз-ся медианой (h) (отделяет ½ площади под плотностью слева и справа). Если распр-е симметрично, то h совпадает с мат.ож. m.

Мода (d) – абсцисса, при кот. плотность распр-я имеет максимум: f(d)=max

 

- моды нет (несколько лок.максимумов)

Нормальное распределение правило 3-х сигм

Нормальное распределение N(m,s²) имеет плотность, определяемую формулой:

Функция распр-я F(х) норм.распр-я равна:

Параметры m и s² норм.распр-я равны соответственно мат.ожиданию и дисперсии случ.вел-ны Х:

Центральные моменты норм.распр-я можно вычислить из рекуррентного ур-ния:

μ_k+2=(k+1)s²μ_k, k=0,1,2,… (причем μ₀=1)

Для норм.распр-я все центр.моменты нечетного порядка равны 0.

Коэффициент ассиметрии a_x норм.распр-я равен 0.

a_x=μ₃/s₃

Из формул получаем: μ₂=s², μ₄=3s⁴

Коэффициент эксцесса равен 0: е_х= μ₄/s⁴-3=0

Стандартизированное нормальное распределение и его свойство.

Норм.распр-е с нулевым мат.ожиданием и дисперсией,равной 1, назыв.стандартным норм.распр-нием:

Х~ N(0,1)

Ф-ла плотности j(х) станд.норм.закона равна

, -¥<x<¥

А функция распр-я:

Так как плотность распр-я станд.норм.закона j(х) симметрична относ-но оси ординат,то для ф-ции распр-я Ф(х) справедливо след.св-во: Ф(-х)=1-Ф(х)

Зн-я функции Ф(х) использ.при вычислении вер-ти попадания норм.распр-ной случ.величины Х в заданный интервал:

В практич.задач часто приходится вычислять вер-ть попадания случайной величины Х~ N(m,s²) в интервал, симметричный относительно ее математического ожидания m:

Используя получ.рез-тат,вычислим вер-ть отклоенения от мат.ожидания норма.распр-ной случ.вел-ны на вел-ну,равную трем средневкадратич.отклонениям, 3s:

P[|X-m|<3s]=2Ф(3)-1»2*0,9987-1»0,9973

Этот результат известен как «правило трех сигм»: с вер-тью 0,9974(практически =1)зн-е нормально распределенной случ.вел-ны лежит в интервале (m-3s;m+3s)

Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация. Условные распределения.

Рассмотрим две случайные величины X и Y, определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве (Ω,F,P). Обозначим значения, кот. принимает случ. величина Х через х1, х2, …, хn, а значения случ. величины Y через y1,y2,…,yn. Распределение вероятностей X и Y обозначим соответственно p_х1, p_х2, …, p_хn и p_y1, p_y2, …, p_yn. Вер-ть события, состоящего в том, что Х=хi и Y=yj, обозначим как P[X=xi; Y=yj]=p_ij.

Опр Система равенств P[X=xi; Y=yj]=p_ij, p_ij>0, , p_ij=1, i=1,2,.., n, j=1,2,..,m определяет совместное распределение дискретных случайных величин X и Y или системы 2-ух дискр. случ. величин (X,Y).

Распределение системы 2-ух дискр. случ. вел. (X,Y) записывают в виде таблицы распределения.

Таблица (1)

Суммируя вер-ти p_ij по строкам, получим рапределение случ. вел X: , i=1,2,.., n, суммирование вер-тей p_ij по столбцам дает распределение случ. вел. Y: , j=1,2,..,m. Аналогично определяется распределение системы более чем 2-ух случ. вел.

Условные распределения: Условная вер-ть события Х=хi при условии, что Y=yj (p_yi>0) определяется формулой (1). Система равенств (1) при, i=1,2,.., n задает условное распределение случ. вел. X при условии,что случ. вел Y принимает заданное значение Y= yj.

Опр Определение независимости случ. величин. Пусть таблица (1) суть таблица распределения случ. вел X и Y. Случ. вел-ны X и Y наз. независимыми, если события X=xi и Y=yj независимы для всех i и j таких, что 1≤i≤n, 1≤j≤m, т.е. или p_ij= .(если это условие не выполняется, то величины зависимые) Если X и Y независимые случ. вел., то таблица распределения (1) имеет вид таблицы умножения. Аналогично определяется взаимная независимость более чем 2-ух случ. вел. Для независ. случ. вел. Условные вер-ти равны безусловным вер-тям = ,

Опр Случайные величины X1, X2,..,Xn определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве наз. взаимно независимыми, если для любой комбинации значений x_i1, x_i2,.., x_in. .

Опр П усть случ. величины X и Yимеют конечные дисперсии. Ковариацией X и Y наз.. математическое ожидание произведения центрированных случ. величин (X-m_x) и (Y-m_y):

cov(X,Y)=M[(X-m_x)(Y-m_y)]= M[XY]-m_xM[Y]-m_xM[X]+m_xm_y=M[XY]-m_xm_y (Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания)

Св-ва cov:

1.Если X и Y независимые случ. вел, то cov(X,Y)=0, обратное же неверное, т.е. если cov(X,Y)=0, это не значит,что величины независимы.

2.cov(aX,aY)=abcov(X,Y), где a и b – константы

3.cov(X,Y)≤

Это неравенство явл. следствием неравенства Коши-Буняковского: (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²] (1).

Док-во нер-ва (1):

Рассмотрим очевидное неравенство M[(aX+Y)²] ≥0, где а-любое действительное число, а≠0. Преобразуем левую часть этого неравенства, используя св-ва мат. ожиданий

M[(aX+Y)²]=M[a²X²+2aXY+Y²]=a²M[X²]+2aM[XY]+M[Y²]≥0 Т. К. Полученный относительно a трехчлен принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант будет меньше или равен нулю: 4(M[XY])²-4M[X²] *M[Y²]≤0 Отсюда следует неравенство (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²]. Заменим X на (X-m_x), а Y на (Y-m_y), получим: (M[(X-m_x)(Y-m_y)])²≤M[(X-m_x)²]*M[(Y-m_y)²] или (cov(X,Y))²≤D[X]*D[Y]

Механическая интерпретация.

N-мерные случ. величины

(x1, x2,..,xn)- n-мерный случ. вектор

(x1, x2,..,xn)=

M[ ]=(M[x1],…, M[xn]), т.е мат. ожидание вектора равняется вектору мат. ожиданий.

Cov(Xi;Yj)=M[(Xi-m_xi)(Yj-m_yj)], j,i=1,..,n

-ковариационная матрица (симметрична)

-корреляционная матрица(симметрична)

D[x1+x2+x3]=D[x1]+D[x2]+D[x3]+2cov(x1,x2)+2cov(x2,x3)+2cov(x1,x3)