Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1.Равномерное распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, принимающие все свои значения из отрезка [a;b], называются равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е.

 

 

Отсюда

Но как известно (см.параграф 2.5, п.2),

Из сравнения равенства (2.20) и (2.21)получаем c=

Итак плотность вероятности непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно на отрезке [a;b],имеет вид

Пример. На отрезке [a;b], наугад указывают точку.Какова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?

Обозначим через Х случайную величину, равную координате выбранной точки. Х распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов: «наугад указывают точку»), а так как середина отрезка [a;b],имеет координату , то искомая вероятность равна (см.параграф 2.5, п.2):

P(a<X<

Впрочем, этот результат был ясен с самого начала (см.параграф 1.2, п.1).

2.Нормальный закон распределения. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным законом, или законом Гаусса [1] если ее плотность вероятности есть

f(x)= (2.22)

где и a -постоянная, причем .

Убедимся что функция (2.22)удовлетворяет условию (2.17). Действительно перейдя в интеграле (2.23)

К новой переменной t= (2.24)

Получим интеграл

Но (см.приложение 1).

Следовательно, (2.25)

Значит интеграл (2.23)тоже равен единице.

 

Последняя сумма распространена на все значения x₁ принимаемые случайной величиной X. Следовательно (см. § 2.2, п. 1),

 

 

Отсюда, сопоставляя соотношения (2.30) и (2.31), получаем иско­мое неравенство (2.29).

Теорема. Для любой случайной величины X при каждом поло­жительном числе г имеет место неравенство

(2.32)

 

Неравенство (2.32) называется неравенством Чебышева*. Доказательство. Так как событие равносиль­но событию

ТО

 

Случайная величина неотрицательна,и, значит, со­гласно лемме, свойству 2 математического ожидания (§ 2.2, п. 2) и определению дисперсии (§ 2.3, п. 1)

 

Поэтому

 

Пример. Пусть случайная величина X имеет D(X)= 0,001. Какова вероятность того, что она отличается от М(Х) более чем на 0,1?

По неравенству Чебышева

 

 

Примечание. Отметим другую форму неравенства Чебыше­ва. Так как событие, выражаемое неравенством про­тивоположно событию, выражаемому неравенством , то (§ 1.3, п. 1, следствие 2)

* П. Л. Чебышев (1821 —1894) — выдающийся русский математик. (64)

 

 

Отсюда с учетом неравенства (2.32) получаем такую форму нера­венства Чебышева:

(2.33)

2. Закон больших чисел Чебышева. Докажем закон больших чисел в широкой и удобной для практики форме, полученной П.Л. Чебышевым.

Теорема (теорема Чебышева; закон больших чисел). Если дисперсии независимых случайных величин Х_]у Х₂,..., Х_п ограничены одной и той же постоянной с,D(X₁)≤ с, i= 1, 2,..., п_,, то каково бы ни было > 0, вероятность выполнения неравенства , где

 

будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин n достаточно велико, т. е.

(2.34)

Доказательство. Применяя неравенство Чебышева (2.33) к величине X, имеем

(2.35)

Пользуясь свойствами дисперсии (§ 2.3, п. 2) и условием теоремы, получим

 

 

Отсюда с учетом неравенства (2.35) и того, что вероятность любого события не превосходит единицы (§ 1, п. 3), получим

(2.36)

Наконец, переходя в неравенстве (2.36) к пределу при n→∞,при­ходим к искомому соотношению (2.34).

Частный случай теоремы Чебышева. Если все Х_к имеют одинаковое математическое ожидание М(Х₁) =... = М(Х_n) = а и D(Х_k)<с, k= 1,..., n, то

(2.37)

Действительно, в условиях рассматриваемого частного случая равенство (2.34) имеет вид (2.37).

Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем. Несмотря на то, что каждая из независимых случайных величин Х_k может принять значение, далекое от математического ожидания М(Х_k), среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью весьма близко к среднему ариф­метическому их математических ожиданий.

Теорема Чебышева имеет громаднейшее практическое значение. Пусть, например, измеряется некоторая физическая величина. Обыч­но принимают в качестве искомого значения измеряемой величины среднее арифметическое результатов нескольких измерений. Мож­но ли считать такой подход верным? Теорема Чебышева (ее част­ный случай) отвечает на этот вопрос положительно.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статис­тике выборочный метод, согласно которому по сравнительно не­большой случайной выборке выносят суждение, касающееся всей совокупности исследуемых объектов. Из теоремы Чебышева (частный случай) следует теорема Бернулли, являющаяся простейшей формой закона больших чисел.

Теорема Бернулли. Пусть m —число наступлений собы­тия А в n независимых испытаниях и p есть вероятность наступле­ния события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было положительное число ,

^(2,38)

 

Доказательство. Обозначим через X_k случайную величину, равную числу наступлений события А в k-м испытании, где k=1, 2,..., п. Тогда имеем (§ 2.4, п. 1)

m = Х₁ + Х₂ +... + Х_n;

и все условия частного случая теоремы Чебышева выполнены. Равенство (2.37) превращается в равенство (2.38).

Практический смысл теоремы Бернулли следующий: при посто­янстве вероятности случайного события А во всех испытаниях при неограниченном возрастании числа испытаний можно с вероятно­стью, сколь угодно близкой к единице (т. е. как угодно близко к достоверности), утверждать, что наблюдаемая относительная час­тота случайного события будет как угодно мало отклоняться от его вероятности.

§ 2.9. Предельные теоремы теории вероятностей

1. Центральная предельная теорема. Как уже отмечалось, нор­мально распределенные случайные величины имеют широкое рас­пространение на практике. Объяснение этому дает центральная предельная теорема, один из вариантов формулировки которой принадлежит русскому математику А. М. Ляпунову (1857—1918). Суть центральной предельной теоремы состоит в следующем: если слу­чайная величина X представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормаль­ному.

Приведем без доказательства (доказательство см. в работе [3]) центральную предельную теорему для случая одинаково распреде­ленных случайных величин.

Теорема. Если Х₁, Х₂..., Х_n —независимые случайные величи­ны, имеющие одно и то же распределение с математическим ожида­нием α и дисперсией σ², то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы Х=Х₁ + Х₂ +... + Х_n неограниченно приближается к нормальному.

2. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.

Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас* получил важную приближенную формулу для расчета вероятности Р_n(m) появления события А точно m раз, если n — достаточно большое число. Им же получена приближенная формула и для суммы вида

 

 

Локальная предельная теорема Лапласа. Пусть р= Р(А) — вероятность события А, причем 0<p<1. Тогда вероят­ность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при n испы­таниях появится точно m раз, выражается приближенной формулой

(2.39)

 

где q=1-p;

Для функции φ(х) составлена таблица (см. приложение 2) ее значений для положительных значений х [функция φ (х) четная].

Выражение (2.39) называют формулой Лапласа.

Пример 1. Вероятность поражения цели стрелком при оди­ночном выстреле p= 0,2. Какова вероятность того, что при 100 вы­стрелах цель будет поражена ровно 20 раз?

Здесь p = 0,2, q=0,8, n=100 и m = 20. Отсюда,

и, следовательно

 

 

Учитывая, что φ (0) = 1/ - 0,40, из формулы (2.39) получаем

 

 

Перейдем к интегральной теореме Лапласа. Поставим следующий вопрос: какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность Р(А) =р(0<р< 1) при n испыта­ниях (как и прежде число испытаний велико), появится не менее k раз и не более l раз? Эту искомую вероятность обозначим Рn(k,l).

На основании теоремы сложения вероятностей для несовмести­мых событий (§ 1.3, п. 1) получим

 

(2.40)

Получим приближенную формулу Лапласа для подсчета суммы (2.40) при больших m и n. Используя локальную теорему Лапласа, приближенно будем иметь

 

 

где

(2.41)

 

 

 

Далее, в силу равенства (2.41) имеем

 

(2.42)

 

и потому

 

 

Здесь сумма справа является интегральной суммой для функции φ(х) на отрезке причем, как следует из равенства (2.42), при

Следовательно, при n→∞ предел указанной интегральной суммы есть определенный интеграл

 

 

Поэтому

 

 

(2.43)

 

Где

(2.44)

 

 

Выражение (2.43) при условии (2.44) и составляет содержание ин­тегральной предельной теоремы Лапласа. Нами уже была введена функция

(2.45)

называемая функцией Лапласа, или интегралом вероятности. Оче­видно, Ф(х) есть первообразная для функции φ(х). Поэтому на ос­новании формулы Ньютона — Лейбница из формулы (2.43) получим

(2.46)

(интегральная формула Лапласа).

 

Как известно, интеграл не берется в элементар­ных

функциях. Поэтому для функции (2.45) составлена таблица (см. приложение 3) ее значений для положительных значений х, так как (0) = 0 и функция Ф(х) нечетная:

 

 

(t=-z, dt=-dz)

Пример 2. Вероятность того, что изделие не прошло провер­ку ОТК, р = 0,2. Найдем вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100.

Здесь n = 400, k=70, l=100, p = 0,2, q = 0,8. Поэтому в силу ра­венств (2.44) х_k=-1,25, x_l = 2,5 и, согласно формуле (2.46),

 

Замечание: Отметим, что локальную и интегральную пре­дельные теоремы Лапласа иногда еще называют локальной и интег­ральной предельными теоремами Муавра*— Лапласа.

3. Распределение случайных ошибок измерения. Пусть проводит­ся измерение некоторой величины. Разность х-a между результа­том измерения х и истинным значением а измеряемой величины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измере­ние большого количества факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникающие при округлении и т. п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распре­делена нормально. Если при этом нет систематически действующих факторов (например, неисправности приборов, завышающих при каждом измерении показания), приводящих к систематическим ошиб­кам, то математическое ожидание случайных ошибок равно нулю. Итак, принимается положение: при отсутствии систематически действующих факторов ошибка измерения есть случайная величина (обозначим ее через T), распределенная нормально, причем ее мате­матическое ожидание равно нулю, т. е. плотность вероятности ве­личины Т равна

 

где σ — среднеквадратическое отклонение величины Т, характери­зующее разброс результатов измерения вокруг измеряемой величины.

Результат измерения также есть случайная величина (обозначим ее через X), связанная с T зависимостью Х= α + Т. Отсюда: М(Х) = α, σ (Х) = σ (Т) = σ и X имеет нормальный закон распределения.

Заметим, что случайная ошибка измерения, как и результаты измерения, всегда выражается в некоторых целых единицах, свя­занных с шагом шкалы измерительного прибора; в теории удобнее считать случайную ошибку непрерывной случайной величиной, что упрощает расчеты.

При измерении возможны две ситуации:

а) известно σ (это характеристика прибора и комплекса усло­вий, при которых проводятся измерения), требуется по результатам
измерений оценить α;

б) σ не известно, требуется по результатам измерений оценить
α и σ.

Рассмотрению этих ситуаций при проведении физических изме­рений будет посвящен § 4.3

Упражнения

1. Пусть случайная величина X— число очков, выпавших при подбра­сывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной вели­чины X.

X
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

 

2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрываются 1 выигрыш в 500 р. и 10 выигрышей по 10 р. Найдите закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

 

X
p	0,89	0,1	0,01

 

3. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

X
р	0,3	0,2	0,5

 

Найдите математическое ожидание случайной величины X. [2,2]

4. Найдите математическое ожидание выигрыша X в упражнении 2.

[6 р.]

5. Найдите математическое ожидание случайной величины X, зная
закон ее распределения:

 

X
р	0,3	0,1	0,6

[3,9]

6. Проводятся 2 выстрела с вероятностями попадания в цель, равны­ми p₁ = 0,4; p₂ = 0,3. Найдите математическое ожидание общего числа по­паданий. [0,7]

7. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. [7]

8. Найдите математическое ожидание произведения числа очков, ко­торые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

[12,25]

9. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими за­
конами распределения:

X
р	0,1	0,3	0.6

И

У
p	0,8	0,2

Найдите математическое ожидание случайной величины XY. [32,56]

10. Найдите дисперсию случайной величины X, которая задана следую­щим законом распределения:

X
р	0,3	0,5	0,2

 

 

[2,01]

11.Известны дисперсии двух независимых случайных величин X, Y:.

Найдите дисперсию суммы этих величин. [7]

12.Дисперсия случайной величины X равна 5. Найдите дисперсию следующих величин: а)X-1; б) -2Х; в)3X+6.

[а) 5; б) 20; в) 45]

13—15. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин, заданных различными законами распределения:

13.

 

X	-2	-1
р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

14.

X
р	0,1	0,1	0,3	0,4	0,1

 

 

15.

х
р	0,2	0,5	0,2	0,1

 

16. К случайной величине прибавили постоянную α. Как при этом
изменяется ее: а) математическое ожидание; б) дисперсия?

[а) прибавится α; б) не изменится ]

17. Случайную величину умножили на α. Как при этом изменятся:
а) математическое ожидание; б) дисперсия?

[а) умножится на α; б) умножится на α²]

 

18. Случайная величина X принимает только 2 значения: 1 или -1, каж­дое с вероятностью 0,5. Найдите дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). [D(X) = 1; σ(x)=1]

19. Дисперсия случайной величины D(Х) = 6,25. Найдите среднее квадратическое отклонение σ(Х). [2,5]

20.Пусть закон распределения случайной величины X задан таблицей:

X
p	1/4 _______	1/2	1/4

 

Определите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).

[M(X)=11;D(X)=33;σ(X)≈5,75]

21. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

 

 

X
р	0,2	0,8

 

Найдите начальные моменты первого и второго порядков.

[ν1=4,6; ν2 = 21,8]

22. Дискретная случайная величина X задана законом распределения, приведенным в предыдущем примере. Найдите центральный момент вто­рого порядка. [μ₂ = 0,64]

23.Случайная величина X задана функцией распределения

 

0 при x≤-1

F(x)= при -1<x≤2

 

1 при x>2

Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

[ ]

24.Случайная величина X задана функцией распределения

0 при x≤2

F(x)= при 2<x≤4

1 при x>4

Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение,
заключенное в интервале (2; 3).

[0,5]

25. Случайная величина X задана плотностью вероятности

0 при x<0

f(x)= при 0≤x≤4

0 при x>4

 

Найдите вероятность попадания случайной величины X на отрезок

[-2; 3].

[ ]

26. Плотность вероятности случайной величины X задана выражением

Найдите вероятность того, что величина X попадает на интервал (-1; 1).

[0,5]

27. Случайная величина задана плотностью вероятности

0 при x<-

f(x)= α cos x при - ≤x≤

0 при x>

Найдите коэффициент α. [а = 0,5]

 

28. Дана дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины X

 

 

Найдите интегральную функцию распределения F(x).

 

 

29. Дана дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины X

 

Найдите интегральную функцию распределения F(x).

 

 

30. Функция

 

 

является плотностью вероятности случайной величины X. Найдите коэффициент А и функцию распределения F(x).

 

 

31. Найдите математическое ожидание случайное величины X, заданной плотностью вероятности

 

 

 

32. Случайная величина X задана плотностью вероятности

 

 

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

 

33. В хлопке 75% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу трех волокон окажутся 2 длинных волокна?

 

 

34. При некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в цель равна 1/3. Проводится 6 выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий?

 

 

35. Игральная кость бросается 5 раз. Найдите вероятность того, что 2 раза появится число очков, кратное трем.

 

36. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится не менее двух раз.

 

 

37. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найдите вероятность того, что из трех посеянных семян взойдут: а) два; б) не менее двух.

 

 

38. По мишени проводятся 3 выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найдите закон ее распределения.

 

X
p	0,008	0,096	0,384	0,512

 

39. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найдите вероятность того, что среди четырех новорожденных 2 мальчика.

 

 

40. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p =0,6. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий, если проводят 10 выстрелов.

 

[6 попаданий]

 

41. Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которое выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

 

[6 билетов]

 

42. Найдите дисперсию случайной величины X – числа появлений события А в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,7.

 

[21]

 

43. Найдите: а) математическое ожидание и б) дисперсию числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02.

 

[а) 100 изделий; б) 98]

 

44. Проводится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6. Найдите дисперсию случайной величины X – числа появлений события А в этих испытаниях.

 

[2,4]

 

45. Найдите дисперсию случайной величины X – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если M(X) =0,8.

 

[0,48]

 

46. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: а=164 см, s=5,5. Найдите плотность вероятности этой величины.

 

 

47. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (-2; 3)

 

[0,77453]

 

48. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (4; 8).

 

[0,6826]

 

49. Пусть масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: а=375 г; s= 25 г. Найдите вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

 

[0,9759]

 

50. Диаметр детали, изготовляемой в цеху, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 мм. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

 

[2,47; 2,53]

 

51. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найдите вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

 

[0,5468]

 

52. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 2. Найдите вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,1.

 

[0,03988]

 

53. Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найдите вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале (10; 50).

 

 

[0,954]

 

54. Найдите дисперсию случайной величины X, заданной таблицей распределения:

 

X
p	0,1	0,6	0,3

 

[1,05]

 

55. При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность того, что в партии из 100 изделий этой продукции 2 изделия будут нестандартными?

 

[0,184]

 

56. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что одна деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных?

 

[0,003]

 

57. Игральную кость бросают 80 раз. Определите вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз.

 

[0,0162]

 

58. При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Определите вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

 

[0,99945]

 

59. Вероятность наступления случайного события при отдельном испытании равна p. Определите вероятность того, что в n испытаниях событие наступит подряд k раз.

 

[(n – k+ 1) ∙ p ^k ∙(1 – p) ^n-k ]

 

60. Подсчитайте при одновременном бросании n игральных костей количество исходов, в которых определенная грань встречается k раз.

 

[5 ^n-k ]