Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностей.

Комбинаторика — раздел математики, занимающийся вопросами о том, сколько комбинаций определенного типа можно получить из данных предметов (элементов).

Как при решении задач с использованием классического опре­деления вероятности, так и в дальнейшем могут нам понадобиться некоторые определения и формулы комбинаторики. Приведем наи­более употребительные из них.

Определение 1. Размещениями из л различных элементов по т элементов (т ) называются комбинации, составленные из данных л элементов по т элементов, которые отличаются либо са­мими элементами, либо порядком элементов.

Например, из трех элементов а, Ь, с можно составить по два элемента следующие размещения:

ab, ас, be, bа, са, cb.

Число А размещений из n элементов а_1, а_2, ..., а по т равно
(1.1)

Пусть — всевозможные разме­щения, содержащие т элементов. Будем эти размещения строить последовательно. Сначала определим — первый элемент разме­щения. Очевидно,.из данной совокупности п элементов его можно выбрать л различными способами. После выбора первого элемен­та для второго элемента а_а остается n - 1 способов выбора и т. д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому общее число размещений равно указанному произведению (1.1).

Пример 1. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Искомое число сигналов А - 6 • 5 = 30.

Определение 2. Перестановками из л различных элементов называются размещения из этих л элементов по n.

Перестановки можно рассматривать как частный случай разме­щений при т = п, поэтому общее число перестановок из n элементов равно

Р = n(n-1)(n-2)…3 2 1=n! (1.2)

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Искомое количество трехзначных чисел Р₃ = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

Определение 3. Сочетаниями из n различных элементов по т элементов называются комбинации, составленные из данных п элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в пер­вых не учитывается порядок элементов.

Обозначим через С число сочетаний из n элементов по т.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов а_а]а_а2...а_а . Делая в каждом из них m! возможных перестановок их элементов, очевидно, получим общее число рамещений из п элементов по т. Таким образом, С ; отсюда

(1.3)

Формулу (3) можно представить также в виде

C обладает очевидной собенностью

которая также верна и при т = 0, если принять С = 1.

Этой особенностью удобно пользоваться, когда т > .

Числа С являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона

и поэтому часто называются биномиальными коэффициентами.

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Искомое число способов

При решении задач комбинаторики можно использовать следу­ющие правила:

Правило суммы. Если некоторый элемент А может быть выбран из совокупности элементов т способами, а другой элемент В — п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.

Правило произведения. Если элемент А можно выбрать из совокупности элементов т способами и после каждого такого выбо­ра элемент В можно выбрать п способами, то пара элементов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.

Эти правила справедливы и для любого конечного числа элементов.

Приведем, наконец, примеры применения формул комбинато­рики к нахождению вероятностей событий.

Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл две по­следние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Две последние цифры можно набрать способами, а благо­приятствовать событию М (цифры набраны правильно) будет толь­ко один способ. Поэтому

Р(М) =

Пример 5. Партия из 10 деталей содержит одну нестандарт­ную. Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие А)?

Здесь число всех случайных выборок , а число выборок, благоприятствующих событию А, есть т = С . Таким образом, искомая вероятность

Пример 6 (Задача о Генуэзской лотерее*). Разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают пять. По условию можно ста­вить ту или иную сумму на любой из 90 номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров. Если участник лотери ставил на один номер, то он получал при выиграше в 15 раз больше ставки; если на два номера (амбо), то в 270 раз больше; если на три номера (терн), то в 5500 раз больше; если на четыре номера (катерн) — в 75 000 раз больше; если на пять номеров (квин) — в 1 000 000 раз больше, чем ставка. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев?

В первом случае вероятность выигрыша оказывалась

во втором, третьем, четвертом и пятом случаях вероятности выиг­рыша были соответственно равны:

§ 1.2. Геометрическая вероятность. Статистическое и аксиоматическое определения вероятности

1. Геометрическая вероятность. Классическое определение ве­роятности предполагает, что число всех элементарных событий ко­нечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых мно­жество таких событий бесконечно. Например, пусть на отрезке [0; 1] числовой прямой ставят наудачу точку. Что подсказывает нам ин­туиция о вероятностях событий «точка попала на правую половину отрезка» и «точка попала на левую половину отрезка»? Поскольку точка ставится наудачу, то естественно считать эти события равно­вероятными — вероятность каждого 0,5 (поскольку это противопо­ложные события). Ну, а если мы разделим отрезок на 10 равных отрезков и рассмотрим события «точка попала на левый отрезок», «точка попала на второй слева отрезок»,..., «точка попала на пра­вый отрезок»? Это опять равновероятные события. А вероятность каждого из них оказывается равной 0,1, поскольку это совокуп­ность всех элементарных событий нашего опыта. Поставим теперь вопрос: «Какова вероятность попадания точки на отрезок [0,3; 0,7]?» Поскольку этому событию благоприятствуют четыре из указанных выше элементарных события, то искомая вероятность равна 0,4, т. е. длине отмеченного отрезка. В общем случае смысл выражения «точка поставлена наудачу на отрезок длины 1» состоит в том, что вероятность попадания точки на часть этого отрезка длины l равна этому числу l (если вместо отрезка [0; 1] взять отрезок [0; s], s>l, то искомая вероятность будет равна l/s).

Аналогично уясняется смысл выражения «точка поставлена наудачу в квадрат со стороной 1 (или в прямоугольник площадью 1)»,— это значит, что вероятность попадания точки на любую часть этого квадрата (или прямоугольника) равна площади этой части.

В более сложных случаях (на плоскости) может оказаться, что при геометрической интерпретации получится такая картина: име­ется фигура площадью s, и на нее наудачу ставится точка. Тогда вероятность попадания точки на часть этой фигуры, имеющую площадь q, оказывается равной q/s.

Аналогично в трехмерном случае (в пространстве) здесь берется отношение соответствующих объемов. Такое определение вероятно­сти получило название геометрического.

Пример. В окружность вписан квадрат. В круг наудучу ставят точку. Какова вероятность того, что эта точка попадет в квадрат?

Отношение площадей квадрата и круга дает искомую вероят­ность:

2. Относительная частота. Статистическое определение вероятно­сти. Классическое определение вероятности оказывается непригод­ным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если.результаты испытания не равновозможны. На­пример, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.

Пусть произведено п испытаний, при этом некоторое собы­тие А наступило т раз.

Определение 1. Число т называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение

Р*(А) =

называется относительной частотой события А.

Пример 1. При транспортировке из 10 000 арбузов испорти­лось 26. Здесь т = 26 — абсолютная частота испорченных арбузов, а

относительная.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений, многие из которых описаны, например, в работах [1—4], помогают заключить: при проведении серий из п испытаний, когда число п сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличени­ем n — числа испытаний в сериях — относительная частота

Р*(А) = т/п

приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Пример 2. Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484 (см. (4]). Эти частоты группируются около числа 0,5.

Определение 2 (статистическое определение вероятности). Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения от­носительной частоты при больших п.

В условиях только что приведенного примера указанная вероят­ность равна 0,5.

Пример 3. По данным шведской статистики, относительные частоты рождения девочек по месяцам одного года характеризуют­ся следующими числами (расположены в порядке следования ме­сяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473 (см. [2]). Эти частоты груп­пируются около числа 0,482.

Таким образом, относительная частота события приближенно со­впадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверж­дения. Приведем еще один такой пример с бросанием монеты (см. [2]).

 

 

Экспериментатор	Число бросаний	Число выпадений герба	Относительная частота
Бюффон К. Пирсон К. Пирсон	4 040 12 000 24 000	2 048 6 019 12 012	0,5080 0,5016 0,5005

 

Здесь относительные частоты незначительно отличаются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4040 испытаниях отклонение равно 0,008, а при 24000 — 0,0005.

Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико.

С этой точки зрения величина m =nр представляет собой среднее значение числа появления события А при n испытаниях.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смысле совпадают между собой.

3. Аксиоматическое определение вероятности. В современных математических курсах вероятность определяется аксиоматически. При аксиоматическом построении теории вероятностей исходят из свойств вероятности событий, к которым применимо классическое или статистическое определение. Отдельные свойства вероятности известны из предыдущего изложения. Поэтому естественно принять следующие аксиомы.

Аксиома 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Послёдняя аксиома называется аксиомой сложения вероятностей.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Большая заслуга в аксиоматическом построении теории вероятностей принадлежит советскому математику А. Н. Колмогорову

(1903—1987), работы которого положили начало созданию современной теории вероятностей как строгой математической науки [5].

Свойства вероятности