Случайные события в физике, химии, биологии

1. Цепь приборов. Рассмотрим участок электрической цепи, содержащий два последовательно соединенных прибора: А и В (рис. 2, а).

Предположим, что приборы работают независимо один от другого, и каждый из них может либо пропустить ток (прибор исправен), либо не пропустить (прибор неисправен). Обозначим Р(А) и Р(В) вероятности исправности приборов А и В соответственно. Для

а) б) рис2

 

того чтобы по участку цепи прошел ток, нужно, чтобы и прибор А, и прибор В были исправны, т. е. нужно совмещение исправности приборов. Так как приборы работают независимо, то по формуле умножения вероятностей вероятность прохождения тока выразится произведением

Р=Р(А)*Р(В). (1.16)

Совершенно аналогично для трех последовательно соединенных и независимо работающих приборов А, В, С (рис. 2, 6) вероятность прохождения тока по участку цепи выразится произведением

Р = Р(А)*Р(В)*Р(С),

а для n приборов А₁, А₂,..., Аn, — произведением

Р = Р(А₁) * Р(А₂).... Р(Аn).

В частности, если приборы однотипны, точнее говоря, если вероятности их исправности равны Р(А₁) = Р(А₂) =... = Р(А_n)=р, то вероятность прохождения тока Р = pⁿ.

Можно поставить в некотором смысле обратную задачу. Предположим, что вероятность исправности первого прибора Р(А) известна. После испытаний установили вероятность прохождения тока по всему участку Р. Тогда из формулы (1.16) можно найти вероятность исправности второго прибора Р(В). Например, если Р(А) = 0,9; Р=0,72, то в силу (1.16) Р(В)=Р/Р(А)=0,72/0,9=О,8.

2. Цепь реакций. Цепной называют химическую реакцию, которая представляет собой цепочку одинаковых звеньев. Звеном может быть одна, две, реже — несколько стадий. Например, звено

 

начавшись с появления свободного радикала углеводорода, во второй стадии снова выделяет этот радиал и тем самым создает возможность повторения такого же звена.

На некотором этапе цепная реакция может оборваться. Причиной обрыва может служить захват свободного радикала стенкой сосуда, действие ингибитора и т. п. Таким образом, на каждом этапе существует некоторая вероятность р продолжения цепи и вероятность q = 1 —р обрыва цепи.

Какова вероятность, что цепная реакция содержит n звеньев? для осуществления такой реакции нужно, чтобы n раз произошло Продолжение реакции и после этого произошел обрыв. Так как процессы продолжеййя и обрыва независимы, то по формуле умножения вероятностей для Р(n) — вероятности появления цепи длины и, т. е. содержащей n звеньев,— можем написать

Р(n)=рр…рq=рⁿq=pⁿ(1-p).

Обозначим Р(А), Р(В,) и Р(В2) — вероятности безотказной работы соответствующих приборов; Р(В) — вероятность исправности

блока В (вероятность исправности блока А, очевидно, равна Р(А)

Р(А + В) — вероятность прохождения сигнала по цепи, тогда, Ис

формулы сложения и умножения вероятностей, можем

записать

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)*Р(В)=

=Р(А)+Р(В1).Р(В2)—Р(А).Р(В1)Р(В2). (1.18)

На практике чаще задается не вероятность безотказной работе а вероятность отказа, т. е. Р(А), Р(В1), Р(В2) и т. п. Так как отказная и безотказная работа — взаимно противоположные события, то Р(А) = 1 — Р(А); Р(В1) = 1 — Р(В1), Р(В2) = 1 — Р(В2) и мы снова можем применить формулу (1.18), если Р(А) = 0,1; Р(В1) = 0,07; Р(В2) = 0,08, то Р(А) = 0,9; Р(В1) = 0,93; Р(В2) = 0,92. Поэтому Р(А + В) = 0,9 + 0,9З* 0,92 — 0,9*0,93*0,92 = 0,986.

Теперь предположим, что участок схемы состоит из двух последовательно соединенных блоков А и В, один из которых состоит:

из одного прибора А, а другой содержит два параллельно соединнных прибора В1, и В2 (рис. 5, 6). Пусть по-прежнему приборы работают независимо. Блок В выходит из строя, если отказали оба его

прибора. Сигнал проходит, если оба блока А и В исправны. Обозначив Р(АВ) — вероятность прохождения сигнала по цепи и сохранив остальные обозначения для вероятностей, можем написать

Р(АВ) = Р(А). Р(В) = Р(А)[Р(В,) + Р(В2) — Р(В1. Р(В2)]. В частности, для данных предыдущего примера

Р(АВ) = 0,9(0,93 + 0,92—0,93• 0,92) = 0,895.

Аналогично рассматриваются случаи, когда блок А состоит из:

или большего числа приборов, соединенных параллельно или

последовательно, когда блоков более, чем два и т.п.

Разумеется, и в этом случае вместо приборов могут быть рассмотрены выходы химических реакций, жизнеспособность популяций и т.п.

Законы Менделя. Известно, что в простейших случаях передача некоторого признака по наследству зависит от определенного

гена. В половых клетках гены, отвечающие за некоторый признак находяться парами. Например, в клетках гороха имеется пара генов,

отвечающих за окраску цветков потомства — красную и белую. Эти

гены могут находиться в двух состояниях — доминантном (обозначается буквой А) и рецессивном (обозначается буквой а). Поэтому пары генов могут быть такими: Аа или аА, аа. Выписанные возможности определяют генотипы данной особи: первый — доминантный, второй — смешанный, третий - рецессивный.

Оказывается, что наследование признака зависит от генотипа особи.

Например, для гороха красная окраска цветков — доминантный признак а белая — рецессивный.

Экспериментально установлен I закон Менделя: особи доминантного и смешанного генотипов в фенотипе* обладают доминантным признаком, и только особи рецессивного генотипа в фенотипе обладают рецессивным признаком.

Согласно этому закону, для гороха особи доминантного и сме-

щанного генотипов имеют красную окраску цветков и только особи

с рецессивным генотипом имеют белые цветки.

Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами АА и

аа — поколение F0 (родительские формы).

После скрещивания особей с генотипом АА с особями с генотипом аа поколения F0; образуется поколение гибридов с генотипом Аа. Это поколение в генетике принято обозначать F1;. В поколении F1 других генотипов, кроме генотипа Аа, нет.

При случайном скрещивании особей поколения F1 образуется

поколение F2, в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа:

AA Aa аА аа.

Экспериментально получен II закон Менделя: в поколении F2:

происходит расщепление фенотипов в отношении 3: 1 (3 части

составляют особи с доминантным признаком в фенотипе, 1 часть

приходится на особи с рецессивным признаком в фенотипе).

Из этого закона следует, что для поколения F2 вероятность

того, что в фенотипе особи проявляется доминантный признак,

равна 3/4, а вероятность того, что в фенотипе особи проявится

рецессивный признак, равна 1/4.

7. Закон Харда**. Пусть в популяции встречаются три генотипа: АА, Аа, аа. Доля особей генотипа АА равна u, доля особей

генотипа Аа равна 2v, и доля особей генотигiа аа равна w. Коротко

будем говорить о структуре популяции и записывать ее так:

АА Аа аа U 2v w (1.19)

Под этим мы понимаем следующее: если популяция содержит N

особей, то особей генотипа АА в ней uN, особей смешанного геноnипа Аа в ней 2vN и особей рацессивного генотипа аа в ней wN.

При этом, так как

uN+2vN+wN=N

* Фенотип — внешнее проявление признака.

Об этом законе и других приложениях теории вероятностей в биологии подробнее см., например, в [4].

3. Молекула полимера. Процесс полимеризации состоит в том что к звену-мономеру присоединяется такой же мономер, к этому звену — еще один такой же мономер и т. д. Присоединение происходит с некоторой вероятностью р и, следовательно, не происходит с вероятностью q= 1 — р. Так как каждое следующее присоединение происходит независимо от предыдущих, то вероятность образования молекулы, содержащей п мономеров, как и в предыдущем примере, вычисляется по формуле

Р(п)=р.р...р.*q=рⁿq=рⁿ(1—р), n раз

 

4. Параллельное соединение.

Цепь последовательно соединенных приборов — один из крайних, наиболее простых типов соединений. другим простейшим типом является параллельное соединение.

Рассмотрим участок цепи, содержащий два прибора А и В, соединенных параллельно (рис. 3). Предположим, что приборы работают независимо и Р(А) — вероятность прохождения сигнала по прибору А, а Р(В) — по прибору В. Например, сигнал проходит по прибору, если прибор исправен, и не проходит — в противном случае.

Очевидно, сигнал пройдет, если будет исправен хотя бы один прибор. Таким образом,прохождения сигнала по участку цепи — это вероятность Р(А + В), где сумма А + В означает исправную работу

хотя бы одного из приборов. Так как приборы работают независи-

мо, то эту вероятность можно вычислить по формуле (1.13)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)—Р(А)Р(В). (1.17)

Например, если Р(А)=0,8, Р(В)=0,9, то

P(A+B)=0 8 + 0 9—0 8. 0 9—0 98

Можно поставить и обратную задачу. Предположим, что один из

приборов — эталонный и вероятность его безотказной работы

(т. е. вероятность прохождения по нему сигнала) известна. После

испытаний установили вероятность прохождения сигнала по всему участку. Тогда из формулы (1.17) можно найти вероятность, безотказной работы второго прибора. Например, если Р(А) = 0,8, Р(А+В)_—0,95, то подставив это в (1.17), будем иметь 1

Отсюда 0,95 = 0,8 + Р(В)—0,8• Р(В).

Р(В) = 0,15/0,2 = 0,75, если участок цепи состоит из n независимо рабoтающих приборов, соединенных параллельно (рис. 4), и А, означает, что сигнал прошел 1-му прибору, т. е. что 1-й прибор исправен, то вероятность прохождения сигнала по участку— это вероятность исправной работы хотя бы одного прибора, т. е. вероятность суммы

А1+ А2 +... + А_n.

Следовательно (см. п. 2, формула (1.8)),

Р(Аi + А2 +... +Аn) = 1 — Р(A1). Р(A2)... Р(A_n).

В частности, если все вероятности равны Р(А,) = Р(А2) =... = Р(А_n) =р, то Р(А1)=I—Р(А₁)=I-р= q и

Р(А1 + А2 +... + Аn) = 1 — q.

Видно, что даже при малой вероятности р, т. е. при, близкой к единице, выбирая достаточно большое n, можно сделать вероятность Р(АI +... + А_n) достаточно близкой к единице.

Параллельно соединенными могут работать не только приборы. Вместо разобранной схемы можно рассмотреть систему химических реакций, участки нервной или кровеносной систем и т. п.

5. Последовательные и параллельные соединения.

В предыдущих пунктах мы рассмотрели порознь последовательные и параллельные соединения приборов и установили, как вы-

числяется вероятность прохождения сигнала по участку схемы в том

и другом случае. На практике приходится иметь дело с различными

сочетаниями соединений обоих типов. Рассмотрим два характерных

примера.

Предположим, что сигнал проходит по участку схемы, состоящему из двух параллельных блоков А и В, первый из которых

состоит из одного прибора А, а второй содержит два последовательно соединенных прибора В, и В2 (рис. 5, а). Пусть возможность отказа одного из приборов не зависит от работы остальных.Сигнал проходит, если хотя бы один из блоков исправен, а каждый из блоков выходит из строя, если хотя бы один из его приборов отказал.

 

то

u+2v+w= 1. (1.20

Подсчитаем число генов А в популяции. Все особи доминантного генотипа имеют 2uN генов А (у каждой особи два гена А, и всех особей

uN), особи смешанного генотипа имеют 2vN генов А (у каждой особи один ген А, и всех особей 2vN), у особей рецессивного генотипа генов А нет. Следовательно, в погiуляции число доминантных генов А равно:2uN+2vN=2N(v+u)

или, короче, 2Nр, где

р = u + v.

Число р имеет простой вероятностный смысл — это есть Р(А), т. е. вероятность того, что выбранный наудачу ген доминантен. действительно, доминантных генов 2Nр, и всех генов 2N (у каждой особи популяции два гена). Следовательно,

Р(А) = (1.21)

Аналогично подсчитывается, что число всех рецессивных генов а в популяции равно: 2Nq

где

q=w+v

При этом число q имеет аналогичный вероятностный смысл:

2Н

Р(а) =

Из вероятностного смысла чисел р и q следует, что

р+q= 1.

(В этом можно убедиться и подстановкой значений р и q.) Заметим, что числа u, 2v и w тоже имеют простой вероятностный смысл (подсчет аналогичен проведенному выше подсчету для доминантных генов):

Р(АА) =

Р(Аа) =

Р(аа)=

(Р(АА) — вероятность того, что выбранная наудачу особь имеет генотип АА, аналогично Р(Аа) и Р(аа).)

Теперь определим, какова будет структура потомства. Пусть потомство имеет структуру:

АА Аа аа

u1 2v1 w1

(это понимается так же, как и при задании структуры популяции (1.19)). Подсчитаем. u1 2v1 w1.Числа u1 2v1 w1 есть вероятности того, что взятый наудачу потомок имеет соответственно генотип АА, Аа и аа (см. соответствующие формулы). Так как скрещивания происходят независимым образом, то вероятность u1 может рассматриваться как вероятность следующего события: выбрали наудачу и независимым образом из всего запаса два гена А. Так как выбрать каждый ген А можно с вероятностью р (формула (1.21), то в силу теоремы умножения вероятностей независимых событий (1.3, п. 2) интересующая нас вероятность равна р², т. е.

u 1 =p²

Аналогично для w1 получаем вероятность генотипа Аа в популяции потомков складывается из двух возможностей — либо ген А получен от отца, а ген а от матери, либо ген А получен от матери, а ген а от отца — соответствующие вероятности есть рq и qp. Следовательно, вероятность генотипа Аа в популяции потомков равна 2рq, т. е. 2v1 = 2рq. Отсюда

v1=pq

Следовательно, структура потомства имеет следующий вид:

АА Аа аа

P² pq q²

Самое замечательное состоит в том, что если для потомства взять u1+v1 и v1+ w1, как это делалось для родителей, то получим те же самые числа р и q. Действительно, согласно полученным формулам, имеем:

u1+v1=p²+pq=р(р+q)=р,

w1+v1 =q²+pq=q(q+p)=.q

Так как структура потомства вычислена только с использованием этих сумм, то потомки популяции также будут иметь ту же структуру. При этом говорят, что рассчитанная структура стационарна, т. е. от поколения к поколению не меняется.

Этот замечательный факт, что со второго поколения устанавливается стационарная структура популяции, является непосредственным обобщением второго закона Менделя и называется законом Харди.

На практике возможно отклонение, однако для больших популяций закон Харди остается в силе. Для гороха вероятность получения белой особи равна q²(рецессивный признак), вероятность получения красной особи равна 1 — q² (как для противоположного события) и отношение числа красных и белых особей равно (1 — q²): q².

Для описанного в пункте 1 случая q=1/2, и мы опять получаем 3: 1 (см. II закон Менделя).

Упражнения:

1. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найдите вероятность того, что вынугое яйцо некачественное.

[0,05]

2. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное число очков.

[0,5]

3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого наудачу изалеченного

жетона не содержит цифры 5.

[0,81]

4. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

[0,1]

5. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил

5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

[0,05]

6. В окружность вписан правильный треугольник. В кругу наугад ставят точку. Какова вероятность того, что она попадет в треугольник?

[ ]

7. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо’> равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже хорошо’>?

[0,7]

8. Вероятность того, что человек умрет на 71-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что человек все-таки не умрет на 71-м году?

[0,96]

9. Бросается один раз игральная кость. Определите вероятность вы падения 3 или 5 очков.

[1/3]

10. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

[0,5]

11. В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится

120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

[0,2]

12. В урне З белых и З черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращал их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

[0,6]

13. В колоде 36 карт. Наудачу вынимаются из колоды 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

[3/35]

14. В урне 2 белых и З черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые. [0,1]

15. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынутыподряд два туза? [1/105]

16. два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрелком — 0,7. Найдите вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.

[0,56]

17. Найдите вероятность одновременного появления герба при одном

бросании двух монет. [0,25]

18. Имеется два ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящикё 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найдите вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными. [0,56]

19. В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найдите вероятность того, что в семье:

а) все девочки; б) дети одного пола. [а) 0,25; 6) 0,5]

20. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно?

[0,91]

21. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз? [1/3]

22. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков. [2/3]

23. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго — 0,9, Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.

[0,85]

24. В первой коробке содержится 20 транзисторов, из них 18 стандартных; во второй коробке — 10 транзисторов, из них 9 стантдартных. Из второй коробки наудачу взят транзистор и переложен в первую. Найдите вероятность того, что транзистор, наудачу извлеченный из первой коробки,будет стандартным. [0,9]

25. Студент М может заболеть гриппом (событие А) только в результате либо переохлаждения (событие В), либо контакта с другим больным (событие С). Требуется найти Р(А), если Р(В)=0,5, Р(С)=0,5, Р1(А)=0,3, Р(А) = 0,1 при условии несовместимости В и С. [Р(А) = 0,2]

26. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для карманного фонарика. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми? [15/28]

27. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово ЖУК>? [1/б]

28. Слово <керамзит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиивают, и из них извлекают по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода

составят слово река? [1/1680]

29. Слово< Константинополь> составлено из букв А, И, К, Л, Н, Н, Н, О, О, О, П, С, Т, Т, Ь. Какова вероятность случайного составления этого слова из перечисленных букв?

[1/15;3/14;3/13;1/12;2/11;1/10;2/9;1/8;1/7;1/62/5;1/4;1/3;1/2;1=2³*3²/5!]

30. Имеется 12 различных точек. Одна из них обозначена буквой С. Из множества отрезков, концами которых являются любые две из данных 12 точек, наугад выбирается один. Какова вероятность того, что точка С не является концом выбранного отрезка?

31. Незнайка сдавал устный экзамен по математике, В каждом билете — по два вопроса. Всего 25 экзаменационных билетов. Из них 5 билетов Незнайка вообще не учил. В каждом из оставшихся 20 билетов он хотя бы один вопрос выучил, причем в. 18-ти билетах Нейзнайка выучил первый вопрос и в 15-ти билетах — второй вопрос. К каждому билету дается задача, а задач Незнайка решать не умеет. Поэтому он может получить удовлетворительную оценку, если вытащит такой билет, оба вопроса которого он знает. Какова вероятность того, что Незнайка сдаст экзамен, если он первым тянет билет?

32. Какова вероятность при шести бросаниях игральной кости получить все шесть граней в таком порядке: при первом бросании одно очко, при втором — два и т. д.?

ГЛАВА 11

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 2.1. Дискретные случайные величины

1. Понятие ”случайные величины”.

О п р е дел е н и е 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества всезможных значений.

П р и м е р ы. 1) Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

2) прирост массы домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может иметь значение из некоторого число- вого промежутка;

3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5;

4) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, возможные значения которой принадлежат некоторому промежутку.

Случайные величины обычно обозначают прописными буквами Х, У, 2 а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у,. Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:

х1, х2, х3.

О п р е д е л е н и е 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Рассмотрим дискретные случайные величины, множество допустимых значений которых конечно случайные величины из примеров 1) и 3) дискретные.

О п р е д е л е н и е 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Случайные величины из примеров 2) и 4) являются непрерывными.

О п р е д е л е н и е 4. Под суммой (произведением) случайных величин Х и У понимают случайную величину 7=Х+ У (7= ХУ), возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины X и каждого возможного значения величины Y.

2. Законы распределения дискретных случайных величин. Рассмот­рим дискретную случайную величину X с конечным множеством возможных значений. Величина X считается заданной, если пере­числены все ее возможные значения, а также вероятности, с кото­рыми величина X может принимать эти значения. Указанный пе­речень всех ее возможных значений и их вероятностей называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распре­деления дискретной случайной величины может быть задан с по­мощью таблицы:

 

X	х1	х2	х3	…	хn - 1	хn
p	р1	р2	р3	…	pn - 1	pn

В верхней строке выписываются все возможные значения х ₁, х ₂,..., х _n величины X, в нижней строке выписываются вероятности р₁, р₂,..., p_n значений х₁, х₂, ..., х_n. Читается таблица следующим образом: случайная величина X может принимать значения х_i с вероятностями р_i (i = 1, 2,..., n).

Так как события X = х_i ( i = 1, 2,..., n) образуют полную группу несовместимых событий, то

р₁ + р₂ +... + p_n =1

П р и м е р. В денежной лотерее раньше разыгрывались: 1 выиг­рыш в 1000 р., 10 выигрышей по 100 р. и 100 выигрышей по 1 р. при общем числе билетов 10 000. Найдем закон распределения слу­чайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Здесь возможные значения для X есть: x₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 100, х₄ = 1000. Вероятности их будут: p ₂ = 0,01, р ₃ = 0,001, р ₄ = 0,0001, p ₁ = 1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 = 0,9889. Следовательно, закон распреде­ления выигрыша X может быть задан таблицей:

 

X
p	0,9889	0,01	0,001	0,0001

В заключение отметим так называемую «механическую» интер­претацию представленной таблицы. Представим себе, что некото­рая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в п отдельных точках х₁, х₂, ..., х _n сосредоточены соответственно массы р ₁, р ₂, ..., p _n. Тогда эта таблица описывает систему материаль­ных точек, размещенных на оси абсцисс.