Предмет и задачи теории вероятностей. Пространство элементарных событий.

Предмет и задачи теории вероятностей. Пространство элементарных событий.

Под экспериментом понимается процесс протикающ. при определенном усл. в результате которого набл. то, или иное явление фиксируется той или иной результат.

Определение 1. единичное выполнение эксперимента(опыта) наз. испытание.

В теории вероятности рассматривается как результат испытаний, а термин испытание иногда заменяется термином наблюдение, опыт, измерения.

Определение2. Любой исход независимо от его значимости может произойти, или не произойти в результате эксперимента (опыта) наз.(СС)-случ. событием, или просто событием.

Пр-во элементарн событ.

Определение1. Элементами событ.(эксперимент исходами соб-я) наз. возможно. взаимоисп. друг друга исходы данного эксперимента.

Это те события кто-е нельзя разложить на более простые. Элементарные события обозн. w - амего с индексами(w1,w2,w3 и т.ед.), или А1,А2,… или В1,В2 и др.

Определение2. Совокупность всех взаимоисп. исходов экспермим. (всех элемент-х событий) наз. пространство элемент. событий данного эксперимента и обозн прописн. греч. буквой Ω- амега конечно, или счетно, тогда СС ожно рассматривать подмножество пространство элемент. событий. Ω= - пространство эл. событий.

Определение3. Событие наз. сложный если можно угадать 2 элемент. события таких, что из существ-я каждого из них в отдельности следует и существ-е определенного СС.

Это то событие кто-е состоит из нескольких элементарных

А= следов-но соб-е А сложное.

 

Случайные события и их классификация. Операции над событиями.

Определение1. СС наз. достоверным если в результате эксперимента оно обязательно попадает. Достов. соб-е обозн. Ω-амега.

Определение2. Невозможн. наз. такое СС кат-е в результате экспреим. никогда не произойдет. Невозможное событие обозн. Ø

Определение3. Два события совместные в данн. эксперим. если в нем они могут произойти одновр. и наз. не совместные, если их совместно. наступление исключительно

Опреация над событиями

Опред.1. суммой А и В-событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы 1 из них. (А+В или А и В)

Определение2. А и В- событие, состоящ. в том, что произойдет оба данных события вместе (А ٠ В или АВ,)

Определение3. Разностью 2-х событий А и В наз. событие кот-е происходит тогда когда происходит событие А и не происходит событие В и обозн. А-В или А\В (А без. В)

 

Частота появления случайного события и ее свойства.

Ч исло m наступлений соб. А в n эксп. наз. абсолютной частотой наступления А, а отнош числа эксп m, в кот происходило А к числу всех проведенных эксп n – относ частота или частота наступления А. w(A): w/A=m/n.

Свойства

1. 0<=w(A)<=1, где А-пр

2. w(дост.)=1

3. w(невозм)=0

4. w(A+B)=w(A)+w(B), А и В несовместимые

 

 

Вероятность случайного события и её свойства

Определение1: (статистическое) Вероятностью случ. Событ. А назыв. постоянная величина обозначаемая Р(А) около которой группируются частоты данного события по мере увеличения числа эксперимента: Р(А) ~ w(A) =m/n m- число экспериментов в котором наступило событие А,

n- число всех провед. эксперим.

Опред2: Благоприятствующая к событ. исхода эксперимента, назыв. элемент. исходы экспер. При которых данное событие наступает.

Определение3: (классическое)вероятностью наступл.события А назыв. величина обознач Р(А) и определяемое, как отношение числа благоприятств. событ. А исходов экспериментов к числу всех исходов данного экспер. Р(А) =m/n m- число благопр. событ. А исходов экспер. n- число всех исходов эксп.

Свойства вероятности:

1) 0 ≤ Р(А) ≤ 1, А- произ.соб. 3) Р(ᴓ) =0, ᴓ - невозм.

2) Р(Ω) = 1, Ω - достоверн.

4) Р(А)+Р(Ā) = 1, А и Ā- противоп. событ.

Определение4: (аксиоматическое) Вероятностью наступления событ. А назыв. числовая функция обознач. Р(А) удовлетвор. след. аксиомам: 3 и 4 свайства.Следствие из 4 аксиомы: Р(А) = 1 – Р(Ā) или Р(Ā) = 1 – Р(А).

Геометрический подход: Предположим, что число равновозм. Экспер. бесконечно и несчётно, будем интерпретировать элемент.соб. как точки на прямой, на плоскости или в простр. Когда множество элем. событ. Ω представл. собой подмножества соотв. Пространства котор.будем предполаг. Огранич. И измеримым. Т.е. имеющ. Геометрическую меру (длину, площадь или объём).

Определение5: Геометр.Вероятностью или вероятн. Наступл.случ.события назыв. величина обознач. Р(А) и равная отношению геометр.меры(S,P или V) благоприятств. данному событию к геометр. мере всего множества возможн.эксперим.: Р(А)=mesA/mesΩ, где геометр.мера, те

Р(А)= L(A)/L(Ω)=S(A)/S(Ω)=V(A)/V(Ω)

 

 

Схема проверки

1) выделяются гипотезы Но: =…= (генеральн. диспесии каждого из ур.=м/у собой)

2) несмещен точечные оценки ген. дисперс. ур-ний , гдне i=1-R

3) находится оценка ген диспер. всех ур.

4) находится экспер. знач. параметра статистики критерия Барл.

5) Находит эмперич. зн. критерия Бартл.

6) определяется кріт зн. статистики критерия Бартл.

, -задан. ур. значимости

7)

43.Проверка гипотезы о значимости влияния фактора на результативный признак с помощью дисперс анализа.

Значимость фактора на результат признака

Схема проверки:

1) выдвигаются гипотезы Но=влияние фактора на результат не значима, т.е. случ. Н1: значимо, т.е. не случайно.

2) находится ∑результатов наблюдения на каждом из ур.

i=1…k

3)находится ∑ результатов не всех ур. вместе

4) Находится ∑ квадратов наблюдений

5) Находится ср. знач. ур-нь ∑квадр.

6) находится обяз. ср. ∑ квадратов

n=n+…+

7)находится несмещен. точечная общ. дисперсии всех ур.

8) -//- несмещ. течечн. оценка ф-рах

9) экспер. зн. статистики критерия

10) опред. крит. зн. статистики критерия 11)

 

 

44. Проверка гипотезы о равенстве групповых средних с помощью дисперсионного анализа.

Проверка стат. гипотез с помощью дисперсион. анализа

1)Проверка гипотезы о равенстве ср. значений признака в ГС на всех ур-ях

Схема проверки

1) Формир-е основн и альтерн. ей гипотез Но: х1=х2… = (ген. ср. на всех одинаковы)

2) находятся несмещен. течечн. оценки ген. ср. каждого i=1…k

3) находится несмещен. точечная оценка общ. ср. ген зн. всех ур. вместе

4) Расходится внутригрупповая ∑ квадратов отклонения экспер. данных ур. от уравн. ср. знач-й

5)

6) находится экспер. зн. статист. критер

7) находит зн. стат.

8)

 

 

Основные и не основные числовые характеристики случайной величины, их свойства и способы их вычисления. (ЗР и ЧХ СВ)

Мат ожидание СВ х наз-ся величина,обознач М(Х) и определяется неравенством

m_X

Опред. 1 Мат ожидание характеризует среднее (центральное) значение СВ, определяющ. Положение кривой плотности вер-сти вдоль оси ОХ в знач. СВ.

При увеличении значения СВ, кривая вер-сти сдвигается в право.

Определение2. Дисперсией СВ наз-ся мат ожидание кватдрата отклонения СВХ от своего мат ожидания, обознач. D(X) или D_X

D_X=[(x-m_x)²]

Дисперсия СВ опред одним из аналитич выражений

D_X

Дисперсия характеризует степень разброса возможных значений СВ вокруг своего мат ожидания

 

Св-ва мат ожидания

1. M(C) =C

2. М(СХ)=СМ(Х)

3. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

4. М(Х+С)=М(Х)+С

Св-ва дисперсии

1. D(C)=0, С_пр

2. D(CX)=C²D(X)

3. D(X+Y)=D(X)+D(Y), X,Y – независим. СВ

4. D(X+C)=D(X)

5. D(XY)=D_xD_y+D_xm_y²+D_ym_x², X,Y – независим. СВ

6. D(X)≥0

 

Опред.3. Средним квадратич отклонением СВ Х наз-ся величина,обознач как СИГМА Х (6 с продолговатым хвостом) и определяется как корень квадратный из дисперсии(D(X))

Среднее кВ.отклонение характеризующееся рассеив. осн. массы возможн. знач СВХ, относительно мат ожидания этой СВ

НЕОСНОВНЫЕ ЧХ СВ

Опред 1- Начальным моментом k-того порядка СВ Х наз-ся величина,обознач НЮ С ИНДЕКСОМ K(как v)

НЮ_k

Опред2- Ценртральным моментом k-того порядка вел Х наз-ся вел НЮ_k

M_k

Следствия из опред

1. НЮ=

2.

3

Опред3 - Коэфф. ассиметрии (скошенности) СВХ наз-ся вел ax и определяется

Примечание: если ax=0,то график кривой распределения симметричен относительно мат ожидания СВ

Опред 4- Коэф. Эксцесса (островершинности) СВ Х обознач ех и опред равенством

данной СВ Х

Примечания:

1 если ех больше 0 то крив распред СВ островершинна

2 если ех меньше 0 то крив распред СВ плосковершинна

Опред5 модой СВХ наз-ся наиболее вероятное значение данной СВ, обознач

Мох (это то знач СВ для кот вер-сть pi в случае ДСВ или плотность вер-сти f(x) НСВ достигает макс. Знач.

Опред 6- медианой СВХ наз-ся величина, обознач Мех и равная серединному возможному знач в случае ДСВ или тому, знач СВ,для кот выполн условие P`(x<Me,x)=P(X> Me,x) в случае НСВ.

Опред 7- Квантилью СВХ наз-ся величина, обознач Хp для кот справедливо равенство

P(X<Xp)=F(Xp)=P

 

Предмет и задачи теории вероятностей. Пространство элементарных событий.

Под экспериментом понимается процесс протикающ. при определенном усл. в результате которого набл. то, или иное явление фиксируется той или иной результат.

Определение 1. единичное выполнение эксперимента(опыта) наз. испытание.

В теории вероятности рассматривается как результат испытаний, а термин испытание иногда заменяется термином наблюдение, опыт, измерения.

Определение2. Любой исход независимо от его значимости может произойти, или не произойти в результате эксперимента (опыта) наз.(СС)-случ. событием, или просто событием.

Пр-во элементарн событ.

Определение1. Элементами событ.(эксперимент исходами соб-я) наз. возможно. взаимоисп. друг друга исходы данного эксперимента.

Это те события кто-е нельзя разложить на более простые. Элементарные события обозн. w - амего с индексами(w1,w2,w3 и т.ед.), или А1,А2,… или В1,В2 и др.

Определение2. Совокупность всех взаимоисп. исходов экспермим. (всех элемент-х событий) наз. пространство элемент. событий данного эксперимента и обозн прописн. греч. буквой Ω- амега конечно, или счетно, тогда СС ожно рассматривать подмножество пространство элемент. событий. Ω= - пространство эл. событий.

Определение3. Событие наз. сложный если можно угадать 2 элемент. события таких, что из существ-я каждого из них в отдельности следует и существ-е определенного СС.

Это то событие кто-е состоит из нескольких элементарных

А= следов-но соб-е А сложное.