Тема: «Случайные величины и законы их распределения».

Тема: «Случайные величины и законы их распределения».

Понятие случайной величины.

Перейдем от рассмотрения случайных событий к изучению случайных величин. Ведь, даже в таком простом опыте, как измерение длины отрезка, вообще говоря, мы будем иметь дело и со случайными событиями и со случайными величинами. Проводя многократные измерения этой длины, мы получим серию результатов, отличающихся друг от друга в силу случайных причин (способа расположения линейки, положения глаз наблюдателя, качества обработки поверхностей и т.д.). Получить то или иное значение длины будет являться случайным событием, а само зна­чение длины - случайной величиной. То есть случайной называют такую величину, которая при­ни­мает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. Это может быть и число боль­ных на приеме у врача, и число студентов на лекции, и величина давления, или температуры у любого из сидящих, например, в лекционной аудитории.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина принимает счетное множество значений (например, число студентов в аудитории, чис­ло вызовов врача на дом). Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала (температура, масса, давление).

Каждой случайной величине соответствует некоторое множество чисел. Это множе­ство значений, которое может принимать величина . Для игральной кости, например, это мно­же­ст­во 1, 2, 3,...6. Введем обозначения: - случайная величина, - ее возможные зна­че­­ния. Для полного описания случайной величины кроме множества возможных значений нужно знать как часто случайная величина принимает то или другое из своих значений, то есть вероят­ность появления данного значения. Обозначим вероятности появления тех или иных значений как: . Л юбое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения случайной величины.

Дискретная случайная величина.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, принимающую некоторые опре­де­ленные числовые значения. Чтобы задать случайную дискретную величину, надо перечислить ее возможные значения и вероятности, с которыми они достигаются.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде:

· таблицы;

· графика;

· функции распределения.

Рассмотрим подробнее каждый из этих способов.

Закон распределения в виде таблицы.

		...
		...

Таблица может быть конечной или бесконечной. При этом все вероятности больше нуля.

Так как события попарно несовместны, а их сумма есть событие достоверное (при каждом осуществлении опыта величина принимает только одно из своих возможных зна­че­ний, то есть наступает одно и только одно из этих событий), то по теореме сложения вероят­но­с­тей получаем, что сумма вероятностей . Это положение назы­ва­ет­ся условием нормировки.

График распределения.

График распределения часто называют многоугольником распределения или полигоном частот.

Функция распределения.

, .

График функции распределения:

Пример задания функции распределения.

	0,1	0,1	0,5	0,2	0,1
	0,1	0,2	0,7	0,9

 

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием (средним значением) называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности появления этих значений.

Пусть в результате испытаний значение зафиксировано раз, - раз и т.д.

Найдем среднее значение

Математическое ожидание - это то значение, около которого происходит случайный разброс.

Дисперсия дискретной случайной величины.

Величина разброса (рассеяния) всех возможных значений около математического ожидания измеряется дисперсией.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

2. Если и - независимые случайные величины, то

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание.

Не останавливаясь подробно на выводе этой формулы, отметим лишь, что ее легко получить из формулы для математического ожидания дискретной случайной величины, произведя соответствующие замены. От суммирования дискретных значений переходим к интегрированию на отрезке числовой оси. Соответственно суммирование по всем возможным значениям за­ме­ня­ет­­ся на интегрирование в пределах . Вероятность отдельного значения дис­крет­ной слу­чай­ной величины заменим на элемент вероятности для непрерывной случайной величины . Тогда получаем:

Биномиальное распределение.

Пусть производится независимых опытов. В каждом опыте с одной и той же вероятностью может наступить событие . Случайная величина - это число наступлений события в опытах. Вероятности вычисляются по формуле:

,

где .

Число сочетаний вычисляется по формуле: ,

причем и т. д.

Таблица биномиального распределения имеет вид:

			...
			...

Числа , ..., являются членами бинома . Отсюда и распределение получило такое название.

Пример 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Как велика вероятность того, что из 10 нау­гад выбранных новорожденных будет 6 мальчиков? Предположение о независимости может счи­­таться выполненным. Следовательно, для искомой вероятности имеем

.

Пример 2. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оце­ни­ва­ет­ся вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в шести пробах данная колония мик­ро­ор­га­низ­мов появится 4 раза.

Решение.

Распределение Пуассона.

Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счет­­­ное множество возможных значений 0, 1, 2... с вероятностями, которые вычисляются по фор­му­ле:

,

параметр распределения.

Следует отметить, что из всех дискретных распределений, распределение Пуассона встречается ча­ще других. Оно тесно связано с биномиальным распределением, являясь предельным.

Если в биномиальном распределении зафиксировать , а , таким образом, чтобы произведение оставалось постоянным и равным , то получим

.

Распределение Пуассона затабулировано для различных значений параметра .

Пример 1. Известно, что в среднем на приеме у врача бывает ежедневно 5 пациентов. Найти ве­ро­ят­ности обслуживания в день от 0 до 12 пациентов.

Решение:

Нормальное распределение.

 

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если она имеет плотность вероятности следующего вида:

,

здесь постоянные величины, смысл которых станет ясен при дальнейшем рассмотрении. Пока же будем называть их параметрами кривой, - основание натурального логарифма ()

График этой функции приведен на рисунке.

Часто эту кривую называют колоколом за ее форму. Отметим ее основные особенности. Кривая симметрична. Центр симметрии, и это легко доказать, есть точка . Значит параметр мож­но назвать центром симметрии. При возрастании величины , например, для , кривая, не меняя своей формы будет смещаться вдоль оси абсцисс вправо.

 

Ветви кривой не пересекают ось абсцисс, а лишь асимптотически приближаются к ней, то есть

Исследование заданной функции с помощью производных, а именно нахождение максимума и точек перегиба (что рекомендуется проделать самостоятельно) дает следующие результаты:

1.

2. Координаты точек перегиба .

Параметр часто называют параметром ширины кривой. При возрастании форма кривой будет изменяться. Во-первых, будут смещаться точки перегиба, разбегаясь от центра симметрии . Во-вторых, будет уменьшаться высота кривой, так как она обратно пропорциональна . В-третьих, и это очень важно, нужно вспомнить условие нормировки для непрерывной случайной величины:

 

Это значит, что площадь под кривой должна сохраняться постоянной, равной единице. Следовательно, если вершина колокола опускается, то ветви будут подниматься. Вот пример двух кривых Гаусса для разных . Пусть

Математическое ожидание.

Вспомним общую формулу для .

Подставим вместо функцию Гаусса:

.

Чтобы взять этот интеграл, введем замену переменной:

Сократив на и представив интеграл от суммы функций, как сумму интегралов, имеем:

.

Решая первый интеграл, получаем:

.

При подстановке значений верхнего и нижнего пределов интеграл обращается в ноль.

Обратимся ко второму интегралу. Функция вида - есть табличный интеграл.

В результате интегрирования мы пришли к интересному и важному результату: .

Дисперсия.

 

.

Подставляя под интеграл функцию Гаусса и пользуясь только что полученным соотношением , имеем:

Дисперсия была введена как мера рассеяния всех значений вблизи математического ожидания. Оказалось, что параметр ширины кривой играет ту же роль. Его называют среднеквадратичным отклонением . Пользоваться величиной для оценки меры отклонения гораздо удобнее, так как размерности самой случайной величины, ее математического ожидания и средне­квад­ра­тич­но­го отклонения совпадают. Например, если случайная величина это длина, то из­ме­ряются в метрах , в то время как дисперсия измеряется в метрах квадратных .

Тема: «Случайные величины и законы их распределения».

Понятие случайной величины.

Перейдем от рассмотрения случайных событий к изучению случайных величин. Ведь, даже в таком простом опыте, как измерение длины отрезка, вообще говоря, мы будем иметь дело и со случайными событиями и со случайными величинами. Проводя многократные измерения этой длины, мы получим серию результатов, отличающихся друг от друга в силу случайных причин (способа расположения линейки, положения глаз наблюдателя, качества обработки поверхностей и т.д.). Получить то или иное значение длины будет являться случайным событием, а само зна­чение длины - случайной величиной. То есть случайной называют такую величину, которая при­ни­мает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. Это может быть и число боль­ных на приеме у врача, и число студентов на лекции, и величина давления, или температуры у любого из сидящих, например, в лекционной аудитории.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина принимает счетное множество значений (например, число студентов в аудитории, чис­ло вызовов врача на дом). Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала (температура, масса, давление).

Каждой случайной величине соответствует некоторое множество чисел. Это множе­ство значений, которое может принимать величина . Для игральной кости, например, это мно­же­ст­во 1, 2, 3,...6. Введем обозначения: - случайная величина, - ее возможные зна­че­­ния. Для полного описания случайной величины кроме множества возможных значений нужно знать как часто случайная величина принимает то или другое из своих значений, то есть вероят­ность появления данного значения. Обозначим вероятности появления тех или иных значений как: . Л юбое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения случайной величины.