Свойства плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины

1) .

2) .

3) в любой точке непрерывности .

4) .

Замечание. Для функции распределения дискретной случайной величины справедлива формула

,

где функция Хэвисайда. Дифференцируя последнее равенство, видим, что и для дискретной случайной величины можно ввести плотность распределения вероятности по формуле

.

Для случайных величин вводят понятия начальных и центральных моментов, из которых наиболее часто используются математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайной величины называется число

(1)

Говорят, что математическое ожидание у случайной величины существует, если ряд (интеграл) (1) сходится абсолютно.

Дисперсией случайной величины называется число

.

Дисперсия вычисляется по формулам:

для дискретной случайной величины.

для непрерывной случайной величины, где .

Рассеивание возможных значений случайной величины от её математического ожидания часто характеризуют средним квадратическим отклонением .

Существует достаточно большое число законов распределения дискретных и непрерывных величин, которые встречаются в приложениях. Параметры этих законов являются числовыми характеристиками случайных величин или же числовые характеристики выражаются через параметры законов распределения.

 

Примеры распределений дискретных случайных величин

 

Биномиальное распределение

, , ,

, .

Распределение Пуассона

, , , .

Примеры распределений непрерывных случайных величин

 

Равномерное распределение

, .

Нормальное распределение (с параметрами )

, , , , .

Запись означает, что случайная величина распределена нормально с параметрами и .

Показательное распределение

, , .

Распределение Релея

, .

 

Гамма-распределение с параметрами ,

Здесь – гамма-функция:

Пример 1. Изделия испытываются при перегрузочных режимах. Вероятности для каждого изделия пройти испытания, равны 0,8. Испытания заканчиваются после первого же изделия, не выдержавшего испытания.

1. Найти закон распределения вероятностей (ряд распределения) для числа испытаний (случайной величины ).

2. Построить многоугольник распределения.

3. Найти функцию распределения и построить её график.

4. Найти: а) , б) , в) .

Решение. Введем в рассмотрение случайную величину число изделий, прошедших испытания. Очевидно, что случайная величина может принимать значения от 1 и, теоретически, до бесконечности.

Случайная величина примет значение равное , если осуществится событие, состоящее в том, что изделия пройдут испытания, а –е изделие не пройдет. Если – вероятность того, что изделие пройдет испытание, а – вероятность того, что изделие не пройдет испытание, то по теореме умножения вероятностей случайных событий, , где .

Закон распределения вероятностей будет иметь вид

 

 

Для построения многоугольника распределения в декартовой прямоугольной системе координат построим точки и соединим их ломаной.

3. Функция распределения

Для решаемой задачи

Строим график функции распределения

 

4. а)

.

б) ,

в) .

Пример 2. Дискретная случайная величина может принимать три значения , , . Вероятности этих значений соответственно равны , , . Найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

Решение. Для дискретной случайной величины .

В данном случае .

.

.

Пример 3. Дискретная случайная величина может принимать три значения, два из которых известны , . Вероятности этих значений соответственно равны , . Найти закон распределения случайной величины , если известно её математическое ожидание .

Решение. Обозначим третье возможное значение случайной величины через . Так как для дискретной случайной величины , то . Значение найдем из условия , то есть из уравнения . Решив уравнение, найдем . Составим закон распределения

	0,4	0,5	0,1

Пример 4. Плотность распределения вероятностей случайной величины задается соотношением

Найти параметр , функцию распределения вероятностей случайной величины , , , и .

Решение. Значение параметра найдем из условия нормировки . Для заданной это условие примет вид . Интегрируя, получим , откуда . Следовательно

 

.

.

.

.

Пример 5. Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, представляет собой простейший поток. Математическое ожидание числа вызовов за час равно 30. Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов.

Решение. Так как поток заявок представляет собой простейший поток, то число заявок, поступающих на телефонную станцию, распределено по закону Пуассона

, , ,

с математическим ожиданием .

Следовательно, для решаемой задачи

Обозначим через событие, состоящее в том, что за минуту поступит не менее двух вызовов. Тогда

=

= .

Пример 6. Случайная величина имеет пуассоновское распределение и известно, что ее математическое ожидание и дисперсия связаны соотношением .

Найти вероятность , .

Решение. Известно, что математическое ожидание и дисперсия пуассоновского распределения совпадают и равны значению его пара-метра . Условие задачи приводит к уравнению относительно :

,

решениями которого являются числа , . Последнее значение не может быть параметром пуассоновского распределения в силу положительности параметра. Таким образом, случайная величина имеет ряд распределения

, .

Для искомой вероятности получаем

.

Известно, что . Из этого равенства . Для заданной случайной величины , . Следовательно, .

Пример 7. Время безотказной работы некоторого узла сложного агрегата – экспоненциальная случайная величина со средним . Для увеличения надежности агрегата узел дублируется – ставят параллельно несколько одинаковых, но функционирующих независимо узлов. Сколько узлов следует запараллелить, чтобы с вероятностью, не меньшей чем 0,9, по крайней мере один из них не вышел из строя за 10 часов работы?

Решение. По условию задачи – случайное время безотказной работы узла – имеет экспоненциальное (показательное) распределение. Это означает, что

,

Известно, что математическое ожидание экспоненциальной случайной величины есть величина, обратная параметру: . По условию задачи , следовательно, .

Таким образом, вероятность отказа узла в течение 10 часов будет равна .

Если запараллелено идентичных узлов, то событие {по крайней мере один из узлов не выйдет из строя за 10 часов} является противоположным событию {все узлы выйдут из строя за 10 часов}. Поэтому, . Узлы работают независимо, поэтому по теореме умножения вероятностей независимых событий

.

Искомое значение может быть найдено как наименьшее целое решение неравенства

.