Вероятность попадания непрерывной случайной величины на заданный участок числовой оси.

Имеем участок числовой оси в пределах от до . Рассмотрим отдельно три события?

Событие , которое состоит в том, что .

Событие , которое состоит в том, что .

Событие , которое состоит в том, что .

По теореме сложения вероятностей для получаем:

Оказывается, вероятность попадания случайной величины на заданный участок числовой оси равна приращению функции распределения на этом участке.

Найдем теперь

.

Это есть не что иное как производная функции распре­де­ле­ния. Обозначим ее и назовем плотностью распределения. Плотность распре­де­ле­ния, так же как и функция распределения, есть одна из форм задания закона распределения для не­пре­рывной случайной величины. В противоположность функции распределения, эта форма не яв­ля­ется универсальной, она существует только для непрерывной случайной величины.

Рас­смотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и эле­мен­тар­ный участок, примыкающий к точке .

Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок (с точностью до бес­ко­нечно малых высшего порядка) равна . Эту величину принято называть эле­мен­том вероятности. Геометрически это заштрихованная на рисунке площадь элементарного пря­мо­угольника, опирающегося на отрезок .Если увеличить область на числовой оси до некоторого интервала , то вероятность попа­да­ния на этот отрезок будет равна сумме эле­ме­н­тов вероятности на всем участке, то есть интегралу

.

Геометрически это опять будет площадь.

Как можно представить функцию распределения на этом графике?

Сначала запишем формулу для функции распределения: .

Геометрический смысл функции распределения - это площадь, ограниченная сверху графиком функции, а снизу - осью абсцисс, справа - вертикальным отрезком.

Условие нормировки для непрерывной случайной величины.

Чему равна вероятность попасть на любой участок числовой оси.? То есть при нахождении такой вероятности мы должны взять интеграл в пределах от -µ до +µ. А геометрически это будет площадь под всей кривой. .

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание.

Не останавливаясь подробно на выводе этой формулы, отметим лишь, что ее легко получить из формулы для математического ожидания дискретной случайной величины, произведя соответствующие замены. От суммирования дискретных значений переходим к интегрированию на отрезке числовой оси. Соответственно суммирование по всем возможным значениям за­ме­ня­ет­­ся на интегрирование в пределах . Вероятность отдельного значения дис­крет­ной слу­чай­ной величины заменим на элемент вероятности для непрерывной случайной величины . Тогда получаем:

Дисперсия непрерывной случайной величины.

Аналогичные преобразования дают возможность получит формулу для дисперсии непрерывной случайной величины.

Средне-квадратичное отклонение (стандартное отклонение)

 

Основные законы распределения случайных величин.

Законы распределения дискретной случайной величины.

Биномиальное распределение.

Пусть производится независимых опытов. В каждом опыте с одной и той же вероятностью может наступить событие . Случайная величина - это число наступлений события в опытах. Вероятности вычисляются по формуле:

,

где .

Число сочетаний вычисляется по формуле: ,

причем и т. д.

Таблица биномиального распределения имеет вид:

			...
			...

Числа , ..., являются членами бинома . Отсюда и распределение получило такое название.

Пример 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Как велика вероятность того, что из 10 нау­гад выбранных новорожденных будет 6 мальчиков? Предположение о независимости может счи­­таться выполненным. Следовательно, для искомой вероятности имеем

.

Пример 2. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оце­ни­ва­ет­ся вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в шести пробах данная колония мик­ро­ор­га­низ­мов появится 4 раза.

Решение.

Распределение Пуассона.

Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счет­­­ное множество возможных значений 0, 1, 2... с вероятностями, которые вычисляются по фор­му­ле:

,

параметр распределения.

Следует отметить, что из всех дискретных распределений, распределение Пуассона встречается ча­ще других. Оно тесно связано с биномиальным распределением, являясь предельным.

Если в биномиальном распределении зафиксировать , а , таким образом, чтобы произведение оставалось постоянным и равным , то получим

.

Распределение Пуассона затабулировано для различных значений параметра .

Пример 1. Известно, что в среднем на приеме у врача бывает ежедневно 5 пациентов. Найти ве­ро­ят­ности обслуживания в день от 0 до 12 пациентов.

Решение: