Теорема сложения вероятностей.

Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A) P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=S₁+S₂+…+S_n

P(S)=P(S₁)+P(S₂)+…+P(S_n)

Следствие: Если событие S₁, S₂, …, S_n образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу

. (пример - монетка имеющая орел и орешко)

Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле:

Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)

Условие зависимости события А от события В: P(A|B) P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место:

P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)

Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)P(A₂)…P(A_n)

Пример: на монете выпадет орел 2 раза

S=A_орA_ор S=P²(A)=(1/2)²=1/4

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 3

 

Закон распределения случайных величин

Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое.

Большие буквы - случайные величины. Малые буквы - их возможные решения.

Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x₁, x₂, …, x_n

В результате опыта:

Обозначим вероятность соответствующих событий через P_i

, так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то

Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности p_i(i=1,2…,n), то есть в точности указаны решения вероятности p_i каждого события x_i

Этим будет установлен закон случайной величины x_i.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями.

Простейшей формой записи законов распределения является таблица:

X	x1, x2, …, xn
P	p1, p2, …, pn

 

 

Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно).

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 4

 

Плотность и функция распределения.

Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением:

a) Найти коэффициент а

b) Найти плотность распределения F(x)

c) Найти вероятность попадания случайной величины на участок P(0,5<x<3)=?

d) Построить график функций

F(4)=1 -> a4=1, a=0,25

f(x)

- два способа решения.

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 5

 

Функция распределения

Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(X<x)

F-функция распределения случайной величины х

F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения.

F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.

Основные свойства функции распределения.

1. Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т.е. при x₂>x₁ F(x₂)>=F(x₁)

2. При функция распределения F(x)=0; F()=0

3. При F(x)=1; F()=1

 

 

Для дискретной случайной величины:

Функция распределения любой дискретной случайной

величины всегда есть разрывная ступенчатая функция,

скачки которых происходят в точках соответствующих

возможных значений случайных величин и равны

вероятностям этих значений. Сумма всех скачков

равна 1.

F(x) непрерывной случайной величины

Часто используют величины квантиль и -процентная точка

Квантиль - решение уравнения

- процентная точка определяется из уравнения

 

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 6

 

Формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H₁, H₂, …, H_n, образующие полную группу не совместных событий. Эти события назовем гипотезами. Докажем, что в этом случае вероятность событий:

Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

применяем 2 ^е теоремы:

-формула полной вероятности

 

Теорема гипотез (формула Байеса).

Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H₁, H₂, …, H_n известны и равны P(H₁), P(H₂), …, P(H_n). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|H_i) (i=1,2,…,n).

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными словами, требуется найти условную вероятность P(H_i,A).

 

Формула Байеса:

 

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 7