Теорема о числовых характеристиках

 

I. Если c не случайная (детерминированная) величина, то M[c]=c и D[c]=0

 

II. Если c не случайная - постоянная, а Х случайная (детерминированная), то:

 

III. Математическое ожидание суммы нескольких величин равно сумме их ожиданий.

 

IV. Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

 

V. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный их корреляционный момент.

 

В общем случае:

, где

 

Для не корреляционных случайных величин:

 

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 15

В широком смысле слова, закон больших чисел характеризует устойчивость средних. При очень большом числе случайных явлений - перестает быть случайным и может быть предсказан с большей степенью определенности. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Другая группа предельных теорем касается уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Эта группа теорем известна под названием " центральной предельной теоремы ".

Неравенство Чебышева.

P(|X-m_x| > E) <= D_x/E²

 

 

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева дает одну из наиболее возможных форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между средним арифметическим и ее математическим ожиданием наблюденных значений случайной величины.

Y_n=(X₁ + X₂ + …. + X_n) * 1/n = 1/n

M[Yn] = i/n = 1/n * = 1/n * n * m_x = m_x

Мат ожидание среднего не зависит от n

Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности n т ее математическому ожиданию.

В можематической форме это означает следующее:

, где и сколь угодно положительные числа и .

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов n, частота события a сходится по вероятности к его вероятности P

- (вероятность). m-произошло событие. n-число опытов.

близко к 0

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 16

 

Центральная предельная теорема

Рассмотрим одну из наиболее общих форм центральной предельной теоремы:

Пусть имеется взвешенная сумма независимых случайных непрерывных величин x₁, x₂, x₃, …., x_n с произвольными законами распределения:

, где постоянная, фиксированная числа.

Пусть i-ая случайная величина имеет и (i=1,2,3,…,n-1,n)

Согласно теореме о числовых характеристиках случайных величин, получим:

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно общих условиях распределения суммарной Y_n при стремиться к нормальному распределению

 

Опыт показывает, что когда или меньше, то закон распределения суммы может быть заменен нормальным.

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 17

 

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 18

 

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 19

 

Доверительный интервал и доверительная вероятность используется в математической статистике точности и надежности полученной оценки a* неизвестного параметра a.

 

=0,95 или 0,98; 0,99 - Назначим вероятность достаточно большую.

Найдем значение интервала , при котором вероятность a*-a

1.

2.

вероятность, что выйдет за пределы интервала:

Интервал, покрывающий a называется доверительным интервалом.

Вероятность называется доверительной вероятностью.

 

Оценка a* называется точечной оценкой.

Оценка называется интервальной оценкой.

Вернуться к вопросам

Теорема о повторении опытов

 

Рассмотрим серию из n однородных, не зависимых опытов, проводимых в одинаковых условиях, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления F=P, не появления q=1-P. Предполагается, что вероятность р остается одной и той же в каждом опыте.

Требуется найти вероятность Р_m,n того, что А в этих n опытах появится ровно m раз (0<=m<=n).

-Биномиальное распределение.

, где

Если производится n неизвестных опытов в каждом из которых событие А появляется с вероятностью Р, то вероятность того что событие А появится ровно m раз выражается формулой:

 

Вернуться к билетам.

Задача 1

 

Задача на схему случаев

В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров?

 

n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны.

m - число благоприятных случаев. (все три шара черные)

 

,

 

Вернуться к билетам.

Задача 2