Сумма событий и произведение событий.

Ответ на билет 1

 

X – случайная величина.

x – значение случайной величины.

 

- непрерывная случайная величина

 

 

Дискретная случайная величина – можно пересчитать.

Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0,01; 0,1).

Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0,99; 0,9888).

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 2

Сумма событий и произведение событий.

А,В,….,G - события

Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=A B …. G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример: Допустим идет стрельба по мишени

А₁ - попадание при первом выстреле

А₂ - попадание при втором выстреле

S=A₁+A₂ (хотя бы одно попадание)

 

Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G=

Пример: А₁ - промах при первом выстреле

А₂ - промах при втором выстреле

А₃ - промах при третьем выстреле

(не одного попадания)

 

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A) P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=S₁+S₂+…+S_n

P(S)=P(S₁)+P(S₂)+…+P(S_n)

Следствие: Если событие S₁, S₂, …, S_n образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу

. (пример - монетка имеющая орел и орешко)

Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле:

Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)

Условие зависимости события А от события В: P(A|B) P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место:

P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)

Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)P(A₂)…P(A_n)

Пример: на монете выпадет орел 2 раза

S=A_орA_ор S=P²(A)=(1/2)²=1/4

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 3

 

Закон распределения случайных величин

Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое.

Большие буквы - случайные величины. Малые буквы - их возможные решения.

Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x₁, x₂, …, x_n

В результате опыта:

Обозначим вероятность соответствующих событий через P_i

, так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то

Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности p_i(i=1,2…,n), то есть в точности указаны решения вероятности p_i каждого события x_i

Этим будет установлен закон случайной величины x_i.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями.

Простейшей формой записи законов распределения является таблица:

X	x1, x2, …, xn
P	p1, p2, …, pn

 

 

Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно).

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 4

 

Плотность и функция распределения.

Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением:

a) Найти коэффициент а

b) Найти плотность распределения F(x)

c) Найти вероятность попадания случайной величины на участок P(0,5<x<3)=?

d) Построить график функций

F(4)=1 -> a4=1, a=0,25

f(x)

- два способа решения.

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 5

 

Функция распределения

Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(X<x)

F-функция распределения случайной величины х

F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения.

F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.

Формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H₁, H₂, …, H_n, образующие полную группу не совместных событий. Эти события назовем гипотезами. Докажем, что в этом случае вероятность событий:

Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

применяем 2 ^е теоремы:

-формула полной вероятности

 

Теорема гипотез (формула Байеса).

Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H₁, H₂, …, H_n известны и равны P(H₁), P(H₂), …, P(H_n). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|H_i) (i=1,2,…,n).

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными словами, требуется найти условную вероятность P(H_i,A).

 

Формула Байеса:

 

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 7

 

Характеристики положения.

 

Мат. Ожидание Мода Медиана

 

Важнейшая характеристика математическое ожидание, которая показывает среднее значение случайной величины.

Математическое ожидание величины Х обозначается М[X], или m_x.

Для дискретных случайных величин математическое ожидание:

Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.

 

Модой (Mod) случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.

Для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины.

 

 

Mod=X₃ Mod=X₀

Одно-модальное распределение

 

Много модальное распределение

В общем случае Mod и математическое ожидание не

совпадают.

 

Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(X<Med)=P(X>Med). У любого распределения Med может быть только один.

Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одно-модального и симметричного распределения

mx=Mod=Med

 

Моменты.

Чаще всего на практике применяются моменты двух видов начальное и центральное.

Начальный момент. -го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом порядка называется интеграл , очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть первый начальный момент.

Пользуясь знаком (оператором) М, начальный момент -го порядка можно представить как мат. ожидание -ой степени некоторой случайной величины.

 

Центрированной случайной величиной соответственной случайной величины Х называют отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.

Для дискретных случайных величин имеем:

 

 

Моменты центрированной случайной величины носят название Центральных моментов

 

Центральный момент порядка случайной величины Х называют математическим ожиданием -ой степени соответствующей центрированной случайной величины.

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

 

Равномерное распределение

Равномерная плотность распределения определяется следующим образом:

Функция распределения определяется:

 

Найдем числовые характеристики:

(математическое ожидание)

(медиана), Mod - не существует для данного распределения

(дисперсия), (среднеквадратичное отклонение)

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 10

 

Закон распределения Пуасона

Рассмотрим дискретную случайную величину х, имеющую ряд распределения:

X	X0=0	X1=1	…	Xm=m	…
P	P0	P1	…	Pm	…

Говорят, что данное случайное распределение подчинено закону распределения Пуасона.

(k=m-1)

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 11

 

Нормальный закон распределения (закон Гауса)

Главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие распределения, при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

 

 

Можно показать, что дисперсия

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 12

 

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 13

 

Задача на схему случаев

В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров?

 

n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны.

m - число благоприятных случаев. (все три шара черные)

 

,

 

Вернуться к билетам.

Задача 2

 

Ответ на билет 1

 

X – случайная величина.

x – значение случайной величины.

 

- непрерывная случайная величина

 

 

Дискретная случайная величина – можно пересчитать.

Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0,01; 0,1).

Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0,99; 0,9888).

 

Вернуться к вопросам

Ответ на билет 2

Сумма событий и произведение событий.

А,В,….,G - события

Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=A B …. G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример: Допустим идет стрельба по мишени

А₁ - попадание при первом выстреле

А₂ - попадание при втором выстреле

S=A₁+A₂ (хотя бы одно попадание)

 

Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G=

Пример: А₁ - промах при первом выстреле

А₂ - промах при втором выстреле

А₃ - промах при третьем выстреле

(не одного попадания)