Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности

Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности

w-возможные исходы опыта G называются элементарными событиями, если их нельзя разложить на составляющие их события. Эти события взаимоисключающие и в результате ровно 1 из них точно произойдет. Сов-ть всех элементарных событий w данного опыта G называется пространством элементарных событий Ω

Классической схемой называется опыт G, при котором кол-во элементарных исходов конечно и все они равновозможны. Благоприятное – если наступление w ведет к наступлению А.

Вероятность- отношение числа m элементарных событий к числу n всех элементарных событий в этой схеме..

4. Геометрическая вероятность. Задача о встрече

В случае бесконечного кол-ва равновозможных элементарных исходов опыта Gпространство элементарных событий можно представить в виде некоторого множества Ω в пространстве RПри этом элементарные исходы есть точки заполняющие мн-во Ω, тогда любому событию А соответствует некоторое подмножество мн-ва Ω.

Вер-ть(геометр) – называется отношение меры мн-ва А к мере мн-ва Ω(в виде квадрата ед.площади)

Р(А)=S(A)=V(A)

Задача о встрече:

2 студента договорились встретиться. Каждый из них приходит в течение 1 ч. и ждет 20 мин. Какова вероят. их встречи?

Опишем пр-во эл. соб.: Пусть x- время прихода 1 студ., y- время прихода 2-го студ.

Тогда 0≤x≤1ч. и 0≤y≤1ч.; в кач-ве Ω м. рассматривать квадрат. Событие А={студ.встретятся}={|x-y|<1/3}

|x-y|<1/3 ‹=› -1\3<x-y<1\3

y=x+1/3 y=x-1/3

P(A)=S(A)/S (Ω)=1-2\3*2\3=5\9

 

Действия над событиями. Диаграммы Венна.

Пусть некоторому опыту G соот-т простр-во элем-ых событий Ω, кот. изображ-ся в виде квадрата един-й площади. Вводимые далее действия над событиями м/представить также как операции над множ-ми и проиллюстр-ть с помощью диаграмм Венна.

Будем говорить, что соб. А влечет за собой соб.В, если из наступления А следует наступление В.(; )

Суммой(объединением) соб.А и В наз. такое соб. С, кот. происходит т. и т.т., когда происх-т по крайне мере 1 из соб-й А и В.()

Разностью соб. А и В наз. соб. С, кот. происходит т. и т.т., когда А происх-т, а В не происх-т.(С=А-В; С=А\В)

Произведением (пересечением) соб.А и В наз. С, кот. происходит т. и т.т., когда происходит А и В. (С=А*В; С=А∩В)

Соб. А и В наз. несовместными (не пересекающимися), если они не могут произойти одновременно, т.е. А*В=ǿ

Соб. В наз. противоположным к соб.А (дополнительным к А)[В= Ă], если оно происходит т. и т.т., когда А не происходит.(В=Ă)В рез-те опыта G 1 из 2-х соб-й А и Ă обязательно произойдет и эти события не совместны.(А+Ă= Ω; А*Ă= ǿ)

Говорят, что соб-я образуют полную группу(попарно несовместных) событий если: а)в рез-те G одно из них обязательно произойдет ; б) любые 2 из них не м/произойти одновр-но( ¢

 

Теорема сложения вероятностей. Вер-ть разности двух событий

Пусть нек-ому опыту G соотв-т простр-во элемент-ых соб. Ω;, кот-ое будем изобр-ть в виде квадрата единичной площади. P(A)=S(A).

1. Теорема сложения вер-ей

Вер-ть суммы 2-х соб. равна сумме вер-ей этих соб. без вер-ти их произведения.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Следствие:

1)для несовместных событий: P(A+B)=P(A)+P(B);

2)для полной группы соб. H1,+,Hn: P(H1+…+Hn)=P(Ω)=1

3)сумма вер-ей противополож. соб. Равна 1: P(A)+P(Ā)=1; P(A)=1-P(A)

2. Вероятность разности 2-х соб.

P(A-B)=P(A)-P(AB)

 

7.Вероятность противоположного события. Связь между вер-ми событий из полной группы

 

 

Формула Байеса

пусть события Hi,i=1,nобразуют полную группу событий (Р(Нi)>0). И если событие А произошло, то вероятности гипотез Hi,i=1,n вычисляются по формуле Байеса

Где Р(А), вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.

 

Функция распределения СВ и ее свойства

Функцией распределения случайной величины Х называется функция FX(x)= P{X<x}, xÎR

Под {X<x}понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х принимает значение меньшее, чем число х

Свойства:

1)для любого xÎR: 0£ F(x) £ 1

2) F(-¥) = limx®¥ F(x) = 0; F(+¥) = limx®¥ F(x) = 1;

3) F(x)-неубывающаяфункция, т.е.длялюбыхα,βтаких, чтоα<β:F(β) - F(α);

4)непрерывна слева

Х0 R

20. Функция распределения ДСВ

Пусть ДСВ задана табл. распред-ем,

тогда ее ф-ция распределения:

где x1<x2<…<xn<x

Графиком ф-ции распред-я д/ДСВ явл-ся кусочно-постоянная ф-ция.

Св-ва ф-ции распред-я:

1.) монотонно не убывает;

2.) непрерывна слева;

3.) limF(x)=0, limF(x)=1

x→-∞ x→+∞

 

Неравенства Маркова.

Теорема: Пусть Св Х принимает только неограниченное значение α- любое положительное число тогда вероятность того что СВ х≥0 ¥ α>0

P(x<α)≥1- (1)

Док-во т к х≥0

M(X)=

P(X≥α)≤M(X)/α

-P(X≥α)≥-M(X)/α

1-p(X≥α)≥1-M(X)/α

 

Неравенства Чебышева.

Если Х-СВ, мат. ожидание к-рой М(Х) = а, а дисперсия D(Х) конечна, то д/любого числа ε> 0 выполняются неравенства:

 

Док-во

Ιx-M(X)ι<E↔(X-M(X))²<E²

Введем новую СВ Y=(X-M(X))²≥0

M(X)=M(X_M(X))²=D(X)

P(X)<E²)≥1-M(X)/E²=1-D(X)/E²т к события РΙx-M(X)ι≥E противоположные то справедливо неравенство

РΙx-M(X)ι≥E)≤D(X)/E²

При неизв-ом з-не распред-я на практике при известных М(Х),D(X) участком возможных значений СВ Х считают М(Х)±3σ(Х)

 

Теорема Бернулли.

Если вероятность наступления событ А в каждом изn -_независ испыт постоянно то при неограниченном увеличении числа n –испытаний относит частота m/n –наступления событияА стремиться по вероятности к числу р т е для любого Е>0

<E)=1

Док-во Рассм Св Х1,Х2…..Хn где Xi–число наступлений события А в i- ом испытании

хi 0 1.

 

рi 1-р р.

 

M(X)=p D(X)=pq=c

 

Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности

w-возможные исходы опыта G называются элементарными событиями, если их нельзя разложить на составляющие их события. Эти события взаимоисключающие и в результате ровно 1 из них точно произойдет. Сов-ть всех элементарных событий w данного опыта G называется пространством элементарных событий Ω

Классической схемой называется опыт G, при котором кол-во элементарных исходов конечно и все они равновозможны. Благоприятное – если наступление w ведет к наступлению А.

Вероятность- отношение числа m элементарных событий к числу n всех элементарных событий в этой схеме..

4. Геометрическая вероятность. Задача о встрече

В случае бесконечного кол-ва равновозможных элементарных исходов опыта Gпространство элементарных событий можно представить в виде некоторого множества Ω в пространстве RПри этом элементарные исходы есть точки заполняющие мн-во Ω, тогда любому событию А соответствует некоторое подмножество мн-ва Ω.

Вер-ть(геометр) – называется отношение меры мн-ва А к мере мн-ва Ω(в виде квадрата ед.площади)

Р(А)=S(A)=V(A)

Задача о встрече:

2 студента договорились встретиться. Каждый из них приходит в течение 1 ч. и ждет 20 мин. Какова вероят. их встречи?

Опишем пр-во эл. соб.: Пусть x- время прихода 1 студ., y- время прихода 2-го студ.

Тогда 0≤x≤1ч. и 0≤y≤1ч.; в кач-ве Ω м. рассматривать квадрат. Событие А={студ.встретятся}={|x-y|<1/3}

|x-y|<1/3 ‹=› -1\3<x-y<1\3

y=x+1/3 y=x-1/3

P(A)=S(A)/S (Ω)=1-2\3*2\3=5\9