Аксиоматическое определение вероятности

Вероятность события в современном построении курса определяется аксиоматически (аксиоматическая структура теории вероятностей была предложена советским математи­ком А. Н. Колмогоровым в 1933 году). Дадим это определе­ние в упрощенной трактовке.

Пусть т. е. событие образовано из каких-нибудь исходов пространства элементарных событий некоторого ис­пытания. Числовая функция , определенная на множе­стве всех событий этого испытания, называется вероятностью события , если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1: .

Аксиома 2: вероятность достоверного события .

Аксиома 3: если попарно несовместные события, то

– вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

В аксиоматическом определении свойства вероятности, справедливые для испытаний с равновозможными исходами, обобщены на случай произвольных испытаний. Эти свойства, в общем случае, ниоткуда не следуют, они постулируются. Именно так, с помощью некоторого набора аксиом, опреде­ляются исходные понятия в современной математике.

Можно показать, что «классическое определение» вероятности (3.4) получается как частный случай аксиоматического оп­ределения, если исходы испытания равновероятны,

Без доказательства приведем несколько следствий из аксиом 1–3:

1. , ( – невозможное событие).

2. Если , то .

3. , (вместе с аксиомой 1 имеем ).

4. Если исходы , , …, образуют пространство элементарных событий, то .

5. .

Статистическое определение вероятности

Лишь в случае испытаний с равновозможными исходами мы можем каждому исходу приписать определенную вероят­ность, как это делалось в разделе 3.3. В общем случае с помощью аксиоматического определения вероятности нельзя найти численные значения вероятностей событий в реальных испытаниях. Каким же образом формальное аксиоматичес­кое определение вероятности связано с действительностью? Такая связь основана на универсальной закономерности при­роды, составляющей суть так называемого «статистического определения вероятности».

Пусть производится серия однотипных реальных испыта­ний, в каждом из которых может наступить (или не насту­пить) событие А. Относительной частотой события А являет­ся величина , где т – число испытаний, в которых событие наступило, – общее число испытаний в серии.

Пример 3.14

Партия, содержащая 100 деталей, подвер­гается контролю. 10 деталей оказались бракованными. Относительная частота события («деталь бра­кованная»)

Очевидно, относительная частота может меняться от серии к серии. В то же время экспериментально установлен очень важный факт: при осуществлении известных условий с ростом величина с некоторого момента начинает колебаться около опре­деленного числа, все меньше от него отклоняясь. Это число называют вероятностью события в статистическом смысле.

Фундаментальное свойство устойчивости относительных частот позволяет установить связь теории вероятностей – математической дисциплины – с многочисленными практическими приложениями. Благодаря этому свойству оказа­лось возможным приписывать событиям определенные веро­ятности, значения которых находятся экспериментально. Как показывает опыт, для классических испытаний с равновозможными исходами относительная частота , устанав­ливаемая эмпирически при большом числе повторений, и ве­роятность , получаемая из соображений симметрии, отличаются весьма незначительно.

 

Условная вероятность

В реальности вероятность какого-либо события зависит от осуществления других событий , ,..., т.е. зависит от некоторых условий. Вероятность события , вычис­ленная при условии, что событие произошло, называется условной вероятностью события относитель­но события . Такая вероятность обозначается (или ).

Пример 3.15

Студент, из 30 билетов выучил первые 20. На экзамен он пришел одним из последних, когда осталось только 8 билетов с 17-го по 24-й (событие = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24}). Обозначим A = {студенту достался знакомый билет}.

Если, придя на экзамен, студент не получил никакой ин­формации об оставшихся билетах, то по классическому определению . Если же он узнал, что событие произошло, то для него вероятность получить выучен­ный, билет изменится. Общее число возможных исходов теперь – это число оставшихся билетов – 8. Благопри­ятствующие исходы {17, 18, 19, 20}, их число – 4. Вероятность события A при условии, что имело место событие B («условная вероятность») =

= 4/8 =1/2.

Можно показать, что для классического испытания с равновозможными исходами имеет место формула

(3.6)

Формула (3.6) принимается за определение условной вероятности и в общем случае.

Можно показать, что величина , определенная формулой (3.6) удов­летворяет аксиомам вероятности 1–3, поэтому (3.6) называют четвертой аксиомой вероятности.