Случайные величины и законы распределения

Величина называется случайной, если в результате испытания она может принимать одно и только одно значение из некоторого множества значений, причем заранее неизвестно какое именно.

С лучайная ве­личина называется дискретной,если множество ее значений конечно или счетно. Счетным называется множество, элементы которого можно пронумеровать: Вместо слов “дискретная случайная вели

чина” иногда будем писать сокращенно ДСВ.

Пример 3.20

Производится 3 выстрела по мишени. Обозначим X число попаданий, тогда X = {0, 1, 2, 3} – ДСВ.

Случайная ве­личина называется непрерывной, если ее значения заполняют некоторые интервалы. Например, отклонение снаряда от цели – непрерывная случайная величина. Вместо слов “непрерывная случайная величина” иногда будем писать сокращенно НСВ.

 

Закон распределения дискретной

Случайной величины

Законом распределения ДСВ называется любое правило, по которому каждому значению случайной величины ставится в соответствие его вероятность .

Например, по формуле (3.5) вычисляются вероятности значений = 0, 1, 2,.... Это пример аналитического (с помощью формулы) задания закона распределения ДСВ.

Часто закон распределения ДСВ задается с помощью таблицы:

Таблица 3.1

X			...
P			...

Пример 3.21

Найти закон распределения числа выпадений гербов при двух бросаниях монеты.

Решение

В данной задаче испытанием является два подбрасывания монеты. Обозначая г – выпадение герба, а р – выпадение решки,

составим пространство элементарных событий данного испытания .

Случайной величиной является число выпадений гербов. Очевидно, что при двух бросаниях монеты герб может выпасть 0, 1 или 2 раза, поэтому . Вычислим вероятности этих значений:

= 0,25;

= 0,5;

= 0,25.

Полученные данные запишем в таблицу:

Таблица 3.2

	0,25	0,5	0,25

Свойства дискретных распределений

 

Пусть закон распределения ДСВ задан в виде табл. 3.1, тогда имеют место следующие соотношения:

1. .

Здесь суммируются вероятности всех значений величины .

Это свойство называется условием нормировки для ДСВ.

2. – вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

3. .

 

Функция распределения

Вероятность того, что случайная величина X ока­жется меньше некоторого вещественного числа , называется функцией распределения случайной величины X, обозначается и определя­ется следующим образом:

(3.17)

 

Свойства функции распределения:

1) , т.к. это вероятность (по определению (3.18)).

2) ( –неубывающая функ­ция );

3) , т. к. = 0.

4) , т. к. = 1.
Напомним, – невозможное событие, – достоверное событие.

Пример 3.22

Построить функцию распределения для случайной величины – числа выпадения гербов при двух бросаниях монеты.

Решение

1) , .

2) , = 0,25.

3) , = 0,25 + 0,5 = 0,75.

4) = 0,75 + 0,25 = 1.

 

Отметим, что понятие функции распределения имеет место не только для дискретной, но и для непрерывной случайной величины.

Пример 3.23

Определим функцию распределения НСВ следующим образом:

(3.18)

Очевидно, она удовлетворяет свойствам 1 – 4.

С помощью функции распределения вычисляется вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

 

.

(3.19)

Например, для случайной величины, определенной функцией распределения (3.18), получаем

.

Плотность вероятности

Отметим, что вероятность попадания НСВ в заданную точку равна нулю. Действительно, =

= =0.

Поэтому, можно говорить только о вероятности попадания ДСВ в некоторый интервал. Вероятность попадания случайной величины в интервал обозначим : .

 

.

Распределение НСВ обычно задается плотностью вероят­ности , которая определяется как производная функции распределения:

(3.22)

Смысл функции выясним из преобразований

т. е. –это вероятность попадания случайной величины в бесконечно, малый интервал длиной , стягивающийся к точке х.

Пример 3.21. Найдем плотность вероятности для случайной величины, определенной функцией распределения (3.20);

 

(3.23)

График функции распределения показан на рис. 4.

Свойства плотности вероятности:

1) ;

2) – условие нормировки для НСВ;

3) .

 

Если задана плотность вероятности НСВ X, то вероят­ность ее попадания в интервал находится по формуле

(3.24)