Числовые характеристики случайных величин

 

Математическим ожиданием случайной величины X (обо­значается или )называется величина

(3.25)

Вероятностный смысл математического ожидания ДСВ – это число, около которого группируются средние значения случайной величины с ростом числа испытаний.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

.

(3.26)

 

Пример 3.21.

Пусть распределение ДСВ задано таблицей:

Таблица 3.1

	0,1	0,2	0,4	0,3

Найти математическое ожидание .

Решение

.

Пример 3.22.

Пусть распределение НСВ задано плот­ностью вероятности (3.24):

(3.27)

Найти математическое ожидание .

Решение

 

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Обозначение дисперсии или .По определению,

(3.28)

 

Для ДСВ это означает (см. (2.7))

(3.29)

для НСВ (см. (2.8)):

(3.30)

Дисперсия характеризует рассеивание случайной величи­ны относительно ее математического ожидания.

Формулы (3.30) и (3.31) можно преобразовать к более удобному для вычислений виду

(3.31)

 

(3.32)

Пример 3.22

Найдем дисперсию ДСВ по табл. 4: – (1,1) ² = 1,99.

Пример 3.23

Найдем дисперсию НСВ, заданной плот­ностью вероятности (3.28):

.

Чаще рассеивание характеризуют средним квадратическим отклонением – величиной, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина X:

 

(3.33)

В примере 3.22 , в примере 3.28 .

Свойства дисперсии:

1)

2)

3) .

 

Другие числовые характеристики

Случайной величины

1. Мода (Мо). Модой ДСВ называется ее наивероятнейшее значение. Например, по таблице 2.4: Мо = 1.

Модой НСВ называется значение Х = Мо, соответствую­щее максимуму плотности вероятности . Для случайной величины в примере 2.4 Мо=4.

2. Квантили. Число называется р - м квантилем распре­деления, если оно удовлетворяет уравнению , где –функция распределения (см. (2.3)).

Так как , , то .

Таким образом, – это точка, левее которой случай­ная величина попадает с вероятностью р. Для НСВ кван­тиль К_р может быть найден из уравнения

(3.35)

 

 

(см. свойство 3 плотности вероятности в подразделе 2.5).

Квантили , ,..., называются децилями. Квантили , ,..., называются процентилями.

Пример 2.14. Найдем 25-й процентиль распределе­ния (2.5). По определению или из (2.20):

.

(отрицательный корень отбрасываем, так как в интервал случайная величина X не попадает).

7. Медиана (Ме). Медианой называется половинный квантиль: Ме = . Очевидно, значения случайной величины X с одинаковой вероятностью 0,5 могут оказаться как левее, так и правее точки X =Ме.

Например, для распределения (2.1) имеем;

 

 

(найдите на графике к примеру 2.4 точки , Ме, ). Отметин, что для распределений, симметричных относительно , .

Биномиальное распределение

(распределение Бернулли)

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с одной и той же вероятностью р. Такая ситуация называется схемой Бернулли. Требуется найти вероятность того, что событие появляется ровно k раз. Искомая вероятность обозначается и находится по формуле Бернулли

(3.36)

Здесь , – число сочетаний из n элементов по k.

По формуле (3.36) можно найти вероятность того, что событие появляется в n испытаниях 0, 1, 2, …, n раз. Такое распределение вероятностей называется биномиальным.

Пример 3.24. Производится 4 выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,8 в каждом выстреле. Найти вероятность 1) ровно двух попаданий, 2) ровно трех попаданий.

 

Решение

1. ,

2. .

Заметим, что события (k = 0), (k = 1),... (k = n) несовместны и в сумме образуют достоверное событие =1.

Основные числовые характеристики биномиального распределения вычисляются по формулам

, ,

(3.37)

В примере 2.15 ; ; .

Мода (наивероятнейшее значение) биномиального распределения находится из неравенства

(3.38)

При этом, если есть целое число, то биномиальное распределение имеет две моды:

и .

Пример 3.25

Найти наивероятнейшее число попаданий при четырех выстрелах в примере 1.1.

 

Решение. , .

При этом вероятности 3 и 4 попаданий одинаковы:

.

3.19. Нормальное распределение (закон Гаусса)

Нормальное распределение задается плотностью вероятности

(3.39)

Можно показать, что функция удовлетворяет условию нормировки = 1.

Кривая имеет вид, изображенный на рис. 3.1.

 

Рис. 3.1.

Параметры и в формуле (2.20) являются соответственно математическим ожиданием () и средним квадратическим отклонением () нормально распределенной случайной величины .

Кривая нормального распределения симметрична относительно линии , поэтому .

Введем функцию Лапласа

(3.40)

Таблица значений функции приведена в прилож. 2. Свойства функции Лапласа

1) , т.е. монотонно возрастает.

2) ;

3) ;

4) , если ;

5) , т.е. нечетная функция.

Функция распределения для нормального закона находится через функцию Лапласа (2.21) по формуле

(3.41)

С помощью функции Лапласа находится вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

(3.42)

Для интервала, симметричного относительно математического ожидания, формула (2.23) дает следующее:

или

(3.43)

Если в формуле (2.24) положить , то получим

(3.44)

все (99,73%) значения нормально распределенной величины попадают в интервал . Этот факт называют «правилом трех сигм». Интервал I называется зоной практического рассеивания.

Нормальный закон встречается чаще всего в приложениях теории вероятностей. Им с большой моделируются реальные.распределения размеров и веса из­делий в одной партии, отклонения точек попадания снаряда от цели, ошибки измерений, распределение людей по росту, по интеллектуальным возможностям и т. д.

Пример 1.3

Шарики для подшипников отбраковываются так: если они проходят в отверстие диаметром , но не про­ходят в отверстие диаметром , то признаются стандарт­ными. Пусть допуск, т. е. интервал , составляет 2/3 зо­ны практического рассеивания. Требуется предсказать долю шариков, прошедших отбраковку.

Решение. Диаметр шарика – случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим, ожиданием и средним квадратическим отклонением . По условию . По формуле (3.24) находим

.

Таким образом, при назначенном допуске 95% изготовлен­ных шариков окажутся стандартными.

Пример 3.4

Случайная величина X распределена по нор­мальному закону с математическим ожиданием т_х = 8и сред­ним квадратическим отклонением . Найти P (5<Х<9).

Решение

По формуле (2.23) имеем

 

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ

По закону распределения

	-2
	0,2	0,4	0,3	0,1

 

в задачах 1– 5 найдите следующее.

	Математическое ожидание	А) 0,5; Б) 0,4; В) 0,6; Г) 0,25; Д) 0,3.
	Среднее квадратическое отклонение	А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .
	P (X < 1)	А) 0,2; Б) 0,3; В) 0,4; Г) 0,5; Д) 0,6.
	Функцию распределения в точке x = 3	А) 0,5; Б) 0,9; В) 0,8; Г Г) 0,6; Д) 0,7.
		А) 0,5; Б) 0,4; В) 0,3; Г) 0,2; Д) 0,1.

 

	Производится один выстрел по мишени с вероятностью попадания 0,8. Найдите дисперсию числа попаданий.	А) 0,25; Б) 0,16; В) 0,53; Г) 0,47; Д) 0,28.
	Какие из функций могут служить функциями распределения для некоторой случайной величины? 1) 2) 3) .	А) только 1; Б) только 1 и 2; В) только 2; Г) только 2 и 3; Д) только 1 и 3.

 

По функции распределения

найдите:

	Плотность вероятности
		А) 0; Б) 0,5; В) 0,25; Г) 0,75; Д) 1.
		А) 0,25; Б) 0,5; В) 0,75; Г) 1; Д) 0.
	Математическое ожидание	А) ; Б) ; В) 0; Г) ; Д) 0.
	Среднее квадратическое отклонение	А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .

 

 

	Найти медиану.	А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) .
	В тесте содержится 30 независимых заданий, к каждому заданию на выбор предлагается 5 ответов (правильный ответ один). За правильный ответ начисляется один балл, за неправильный – вычитается 0,25 балла. Найти наивероятнейшее число полученных студентом баллов, если все ответы выбираются наугад.	А) 1; Б) 0; В) –0,25; Г) –0,75; Д) 0,50;
	Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным 1, и средним квадратическим отклонением 0,2.	А) 0,73264; Б) 0,34261; В) 0,52761; Г) 0,16329; Д) 0,83995;

 

Ответы:

1В, 2А, 3Д, 4Б, 5В, 6Б, 7Г, 8Б, 9Г; 10А; 11Г; 12Б, 13Д, 14В, 15Д.