Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Формула полной вероятности. Формула Байеса.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Формула полной вероятности Пусть дана группа несовместных событий В1,В2…Вn и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ1, АВ2… АВn. И пусть даны вероятности P(В1), P(В2),…,P(Вn) и условные вероятности P(A|В1), P(A|В2),…,P(A|Bn). Требуется определить вероятность P(A). Так как A = АВ1 +АВ2 +…+ АВn, то P(A)= P(АВ1 + АВ2 +… +АВn). События В1, В2,…,Вn несовместные, следовательно, события АВ1,АВ2,…,АВn тоже несовместные. Воспользуемся теоремой сложения для несовместных событий. P(A) = P(АВ1 + АВ2 +… +АВn) = P(АВ1)+ P(АВ2)+… +P(АВn) По теореме умножения для каждого слагаемого имеем P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi). Следовательно P(A) = P(B1)P(A|B1) +P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn). Или - формула полной вероятности Формула Байеса Пусть дана группа несовместных событий В1, В2,…Вn и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ1, АВ2,… АВn. И пусть даны вероятности P(В1), P(В2),…,P(Вn) и условные вероятности P(A|B1), P(A|В2),…,P(A|Вn). Требуется определить условные вероятности P(В1|A), P(В2|A),…,P(Вn|A). По теореме умножения P(AB) = P(B)P(A|B) или P(AB) = P(A)P(B|A). Следовательно, P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A). Воспользуемся последним равенством и выразим P(B|A) в общем случае
P(A) находим по формуле полной вероятности Итак, - формула Байеса Вер-ть Р(Вi) осуществления соб. Вi (i = 1,…,n), вычисл. безотносительно к соб. А, нзв априорной вер-тью (a priori). Усл. вер-ть Р(Вi|А) выполнения соб. Вi (i = 1,…,n), вычисл. в предположении, что соб. А осуществилось, нзв апостериорной вер-тью (a posteriori). События Вi называют гипотезами, а теорему Байеса теоремой гипотез.
Формулы полной вероятности и Байеса связаны между собой и дают прямое и обратное решения одной и той же проблемы. Первая прогнозирует возможность появления события А по известным до опыта вероятностям осуществления гипотез. Последняя оценивает вероятность осуществления каждой гипотезы, если событие А произошло. 7.Случайные величины. Основные свойства функции распределения. Дискретные непрерывные случайные величины. Случайной нзв величину, к-рая в рез-те испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случ.причин, к-рые заранее не могут быть учтены. Опр: Случайной величиной ξ(w) нзв. ф-ция элементарных событий от w с обл. определений Ω и обл. значений действ. чисел R1 и означает, что событие {w: ξ(w)£ x }Î σ-алгебре F при х Î R1. Значение х нзв реализацией случ-ой вел-ны ξ(w). Сов-ть всех реализаций сл. вел-ны, т.е. обл. значений ξ(w), нзв. спектром знач. сл. величины. Ф-ция распределения случ-ой величины. σ-алгебра мн-ва F предст.соб. класс событий, для к-рых определена вер-ть , Опр: Пусть у нас есть ξ – случ.вел-на и х – произвольное действительное число. Вер-ть того, что ξ меньше, чем х, нзв ф-цией распред. вер-тей сл. вел-ны ξ. Для описания случайной величины ξ необходимо указать множество её возможных значений х и задать распределение вер-тей этих значений. Опр: Пусть ξ(w) сл. вел-на и х произвольное действительное число вер-ти. Тогда вер-ть того, что ξ(w) примет значение, меньшее, чем х, нзв ф-цией распред. вер-тей сл. вел-ны ξ(w). Замечание: ф-ция распределения явл. разновидностью закона распределения для сл. величин всех типов и однозначно опред. случ. величину. Св-ва ф-ции распред. 1) Ф-ция распред. Fξ(x) опред. для всех х на действ. прямой.
2) Ф-ция распред. неотриц. и не больше 1. Ф-ция определенная на всей числовой прямой R нзв ф-цией распределения случ-ой величины. Например: х принимает значение -1 с вер-тью ½ и значение 1 с вер-тью ½. Тогда 3) Док-во: ξ<+∞ достоверно, отсюда Р(ξ<+∞)=1. Ak – событие, состоящее в том, что k-1£ξ<k. Bn={ξ£ –n} n=1, 2,… Bn+1={x£ – (n+1)} Í Bn(ξ£ –n) "n³1. для любого элементарного исхода знач. ξ вещественно и не может быть меньше всех веществ.чисел, т.е. пересечение Bn не содерж. элем.исходов.
Аналогично док-ся для х→-∞. 4) Ф-ция распределения не убывает. Если x1<x2, то F(x1)-F(x2)=P{x1£x<x2}, при этом F(x1)£F(x2). Д-во: " x1<x2, {ξ<x2}={ξ£x1}+{x1<ξ£x2}. {ξ£x1}×{x1<ξ£x2}=Æ. По А3: F(x2)=P{ξ<x2}=F(x1)+P{x1<ξ£x2} => F(x2)-F(x1)= P{x1<ξ£x2} > 0. 5) ф-ция распред.непрерывна слева Док-во: По А4: Дискретные и непрерывные случайные величины. Опр: числовая ф-ция ξ= ξ(w) опред на пространстве Ω и принимающая конечное или счетное множество значений х1, х2, …, хn, нзв дискретной случайной величиной, если для любого xi мн-ва w, для к-рых ξ(w)=xi, принадлежит σ-алгебре мн-ва F, т.е. Ф-ция распред. любой дискретной сл.вел-ны разрывна, возрастает скачками при тех значениях х, к-рые явл.возмож.значениями. Распределение дискрет.сл.вел-ны есть ступенчатая ф-ция. Единичной ступенчатой ф-цией (ф-цией Хевисайда) нзв ф-ция вида Опр: числовая ф-ция ξ=ξ(w), опред. на пространстве Ω и прин-щая несчетное кол-во значений (-∞; +∞), нзв непрерывной сл. вел-ной, если любое xi мн-ва w, при к-рых ξ(w)<x, принадлежит σ-алгебре мн-ва F, т.е. Если сл.вел-на ξ имеет абсолютно непрерыв.ф-цию распред. Fξ(x), для к-рой существ.неотриц.ф-ция f(x), удовл. при любых х рав-во то в этом случае сл.вел-на нзв непрерывной, а ф-ция f(x) нзв плотностью распред.ее вер-тей. Ф-ция распр.непрерыв.сл.вел-ны сама явл.непрерыв.
Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Начальные и центральные моменты случайной величины. Условное математическое ожидание. Дисперсия случайной величины и её свойства. Связь различных случайных величин. Коэффициент корреляции и его свойства Матожидание: Опр: мат.ожиданием (или средним значением случайной величины ξ) нзв величина M[ξ], к-рая опред след образом: Пример дискретной величины: Кубик: N=6 {1,2,3,4,5,6} M[ξ]=1/6(1+3+3+4+5+6)=3,5 => Вероятнее всего, выпадет 3 или 4. Пример непрерывной величины: ξ - точка координат, брошенная на удачу на отрезок [a;b] Св-ва мат.ожидания: 1) мат. ожид. постоянной равно ей самой M[c]=c, c=const. M[1]=1 2) постоянную величину можно вынести за знак мат. ожидания M[c+ξ]=M[ξ]+c M[c*ξ]=cM[ξ] 3) мат.ожидание суммы любых случ-ых величин равно сумме их математических ожиданий, если эти мат.ожидания существуют. "ξ, η M[ξ+η]=M[ξ]+M[η] 4) мат. ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их мат.ожиданий ξ, η – независ. M[ξ×η]=M[ξ]×M[η] 5) если ξ£η при всех элемент.исходах, то их мат.ожидания сохраняют соотношение: M[ξ]£M[η]. Начальные и центральные моменты случайной величины: Опр: начальным моментом k-ого порядка случайной величины ξ нзв. мат.ожидание k-ой степени этой случайной величины Опр: центральным моментом k-ого порядка случайной величины ξ нзв мат.ожидание k-ой степени центрированной случайной величины Центрированной сл.вел-ной нзв разность м/у сл.вел-ной ξ и ее мат. ожиданием. Условное математическое ожидание: Если условная ф-ция распределения случ. величины ξ: Fξ(x|A), то в этом случае можно рассчитать усл.мат. ожид. по формуле: где Ai – полная группа несовмест.событий, - ф-ции распред. ξ. M[ξ|A] нзв услов.мат.ожид.сл.вел-ны относительно события А. Дисперсия случайной величины: Опр: дисперсией случ.величины ξ нзв. мат.ожидание квадрата отклонения случ.величины ξ от её мат.ожидания. Дисперсия характеризует степень рассеивания реализации случайной величины около её мат.ожидания. Св-ва дисперсии 1) дисперсия постоянной величины равно нулю D[c]=0, с=const 2) 3) Дисперсия суммы любых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин (если эти дисперсии существуют) 4) если дисперсия случ. величны ξ равна нулю, то ξ равна постоянной с вероятностью, равной единице: если D[ξ]=0, то ξ = Const с вероятностью р =1 5) дисперсию можно посчитать по формуле: Связь различных сл.вел-н. Две сл. вел-ны могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми. Строгая функ-ная зав-ть реализуется редко, т.к. обе величины или одна из них подвержены еще действию случ.факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин. В этом случае возникает статистическая зависимость. Стат-кой нзв зав-ть, при к-рой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, стат.зав-ть проявл.в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. В этом случае стат.зав-ть нзв корреляционной. Коэффициент корреляции r Коэффициентом корреляции rξη сл.вел-н ξ и η нзв отношение корреляционного момента к произведению сред.квадр.отклонений этих вел-н: или где Свойства коэффициента корреляции: 1) для независимых случайных величины ξ и η коэ-нт корреляции равен нулю. Сл.вел-ны ξ и η нзв некоррелированными, если их коэф-т кор-ции равен 0. 2) коэ-нт корреляции лежит в пределе от -1 до 1 3) если r=1 или r=-1, то величины ξ и η линейно зависимы (прямая или обратная зав-ть соответственно)
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 172; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.219.131 (0.007 с.) |