Основные непрерывные распределения. Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Логарифмически нормальное распределение.

Основные непрерывные распределения

Случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f_ξ(x) такая, что для любого xÎR функция распределения F_ξ(x) представима в виде

При этом функция f_ξ(x) называется плотностью распределения случайной величины ξ.

Виды непрерывных распред.: равномерное, нормальное (гауссовское), показательное (экспоненциальное), логарифмически нормальное.

 

Равномерное распр.

Сл вел-на ξ имеет равномер распред на отрезке [a;b] с несчет мн-вом возм значений, если плотность распр ξ постоянна на отрезке [a;b] и = 0 вне его.

 

Равномер распр явл непрерывным аналогом дискр распр-я вер-ей для опытов с равновероятностными исходами.

 

Экспоненциальное распределение.

Случ вел-на ξ имеет экспоненц-ое (показательное) распр с параметром α>0, если имеет место след посл-ть распределения:

Нормальное распределение.

Опред: Случ вел-на ξ имеет нормальное (Гауссовское) распр-е с параметрами a и σ (σ >0), если имеет место след плотность распр-ия:

 

 

Свойства:

1. F_a,σ ²(x)=F_0,1((x-a)/σ)

xÎR

2. ξ (x₁, x₂)

P(x₁≤ξ≤ x₂)=Ф((x₂-a)/σ) – Ф((x₁-a)/σ)

3. Ф-ция распр сл вел-ны ξ, распред-ой по норм закону, выражается через ф-цию Лапласа по формуле:

F_ξ(x)=½+Ф((x-a)/σ)

 

Логарифмически нормальное распределение.

Опред: Лог-ски норм распр-ем наз-ся распр-ие вер-ти неотриц случайной вел-ны ξ, логарифм кот-ой распределен по норм-му закону с параметрами a и σ, σ>0.

a=M[ln ξ]

σ²=D[ln ξ]

Числовые характеристики:

 

13. Закон больших чисел. Неравенство Чебышёва. Правило 3σ. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Закон больших чисел

Свойства статистической устойчивости средних заключается в том, что индивидуальные особенности, присущие каждому конкретному случайному явлению, почти не сказываются на усредненном результате таких явлений.

Закон больших чисел – это несколько теорем, определяющих общие условия, при которых среднее значение случайных величин стремится к некоторой const при проведении большого числа опытов (теоремы Чебышева и Бернулли).

Если существует последовательность

таких, что для любых ε>0, выполняется условие:

(*)

Последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными функциями :

Если в выражении (*) , то говорят, что случайная величина сходится по вероятности к а.

В данных терминах означает, что вел-на η_n-a_n сходится по вероятности к нулю.

Неравенство Чебышева

Для любой случайной величины ξ(кси), имеющей M[ξ] и D[ξ] при каждом ε>0 имеет место неравенство(неравенство Чебышева):

 

Док-во:

ξ£η, M[ξ]£M[η]

Рассмотр. некотор.сл.вел-ну η

Пример: пусть ε=3σ

Случайная величина окажется за пределами 3σ:

Верно для любого распределения. Это – верхняя граница распределения вер-ти.

Противоположное событие – в пределах 3σ:

Правило 3σ

99,73%

0,27% - неудача (практически невозможное событие)

Правило 3σ:

Если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от мат ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.

Теорема Чебышева

Если последовательность попарнонезависмых случайных величин, имеющих конечное мат ожидание и дисперсия, ограниченная одной и той же постоянной то при любом ε>0, предел вероятности события стремится к 1 при n→∞:

 

Док-во:

следовательно, при n→∞

Теорема Бернулли

Пусть m – число наступлений события А в n независимых испытаний и Р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний при любом ε>0.

С ростом числа испытаний относительная частота успехов (m/n) будет приближаться к единичной вероятности.

Вводим случайную величину - число наступлений события А в k-ом испытании.

Центральная предельная теорема

Если независимые случайные величины, имеющие и третий центральный абсолютный момент: и если выполняется условие Ляпунова:

то при неограниченном возрастании n (n→∞) закон распределения суммы случайных величин неограниченно приближается к нормальному закону с параметрами:

Пусть независимые случайные величины с конечной ненулевой дисперсией, тогда для любых вещественных чисел х и у, х<у, n→∞ имеет место следующий вид сходимости:

 

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность наступления некоторого события в n независимых испытаниях постоянна и равна Р (0<Р<1), то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно k раз при n→∞ удовлетворяет соотношению:

для х>0

φ(-х)=φ(х)

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если k – число наступления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события = Р, то равномерно относительно а и b, связанных так: – ∞ ≤ а ≤ b ≤ + ∞, имеет место соотношение при n→∞:

Функция Лапласа:

Ф(– х)= – Ф(х)

при n→∞.

Если n конечно

 

Векторные случайные величины. (2.)Свойства двумерной случайной величины. (3.)Двумерная дискретная случайная величина, её геометрическая интерпретация. (4.)Функция распределения и её свойства. (5.)Матрица распределения. (6.)Двумерная непрерывная случайная величина, её геометрическая интерпретация. (7.)Плотность распределения двумерной случайной величины и её свойства. (8.)Понятие независимости для двумерных случайных величин. (9.)Критерии независимости.

(1.) Кроме одномерных, случайных величин можно рассматривать многомерные, случайные векторы, координаты которых являются одномерными, случайными величинами. Пример:

1) Успеваемость ученика

2)Погода в данное время в данном месте.

Случайная векторная величина принимает каждый раз значения, зависящие от элементарного события. Таким образом, многомерная, случайная величина есть вектор-функция, заданная на пространстве элементарных событий, и каждое ее возможное значение есть вектор.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную сл.вел-ну. Каждую из вел-н Х и Y нзв составляющей (компонентой); обе вел-ны Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух сл.вел-н. Аналогично n-мерную вел-ну можно рассматривать как систему n сл.вел-н. Например, трехмерная вел-на (X, Y, Z) определяет систему трех сл.вел-н X, Y и Z. Целесообразно различать дискретные (составляющие этих вел-н дискретны) и непрерывные (составляющие этих вел-н непрерывны) многомерные сл.вел-ны.

В теоретеко-множественной трактовке любая случайная величина X_i(i=1,2,…n) есть функция элементарных событий ω, входящих в пространство элементарных событий Ω (ωÎΩ).

Поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий ω, т.е. каждому элементарному событию ставится в соответствие несколько действительных чисел х₁,х₂,…x_n, которые приняли случайные величины Х₁,Х₂, …Х_n в результате испытания. В этом случае вектор х=(х₁,х₂,…х_n) называется реализацией случайного вектора Х= (Х₁,Х₂, …Х_n).

На вероятностном пространстве {Ω,F,P} определены n-мерные сл.вел-ны ξ₁=f₁(w), ξ₂=f₂(w), …, ξ_n=f_n(w) (f_i(w) измеримы). Вектор (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n) нзв случ.вектором или n-мерной сл.вел-ной. Обозначим мн-во элемент.событий w {ξ₁<x₁, ξ₂<x₂, …, ξ_n<x_n}, для к-рых одноврем.выполняется неравенство f₁(w)<x₁, f₂(w)<x₂, …, f_n(w)<x_n, при этом {ξ₁<x₁, ξ₂<x₂, …, ξ_n<x_n}ÎF. Тогда при любом наборе х₁, х₂,…,x_n выполняется равенство F(х₁, х₂,…,x_n)=P{ξ₁<x₁, ξ₂<x₂,…, ξ_n<x_n}. Эта ф-ция n-аргументов нзв n-мерной ф-цией распределения сл.вектора (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n).

Многомерная случайная величина полностью определяется ее функцией распределения вероятностей, удовл. след.условиям:

1. 0£ F(х₁, х₂,…,x_n)£1

2. F(х₁, х₂,…,x_n) не убывает по каждому аргументу

3.

4. где F(x_i) – ф-ция распред.одномерной сл.вел-ны ξ_i.

(2.) Двумерная сл.вел-на (ξ, h) – это совокупность 2-х одномерных сл.вел-н, к-рые принимают значения в рез-те проведения одного и того же опыта. Двумерные сл.вел-ны характеризуются мн-вами значений Ω_ξ и Ω_h своих компонент и совместными (двумерными) законами распределения. В зав-ти от типа компонент ξ и h, различают дискретные, непрерывные и смешанные сл.вел-ны.

(3.) Двумерная случайная величина называется дискретной, если составляющие ее случайные величины являются дискретными. Двумерную сл.вел-ну (ξ, η) геометрически можно изобразить либо как случайную точку М(ξ, h) на плоскости (т.е. как точку со случ.координатами), либо как случ.вектор ОМ.

(4.) Ф-цией распред. F_ξη(x, y) двумерной сл.вел-ны (ξ, η) нзв вер-ть совместного выполнения события (ξ<x, η<y), т.е. такая ф-ция F(x, y), к-рая определяет для каждой пары чисел х, у вер-ть того, что ξ примет значение, меньшее х, и при этом η примет значение, меньшее у: F_ξη(x, y)=Р(ξ<x, η<y).

Геометрически это можно истолковать так: F_ξη(x, y) есть вер-ть того, что случ.точка (ξ, η) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенные левее и ниже этой вершины.

 

Св-ва ф-ции распределения двумерной сл.вел-ны:

1. 0£ F_ξη(x, y)£1 Вытекает из опред-я ф-ции рапред.как вер-ти: вер-ть – всегда неотриц.число, не превышающее 1.

2. F_ξη(x, +∞)= F_ξ(x), т.к. F_ξη(x, +∞)=Р(ξ<x, η<+∞)=Р(ξ<x)= F_ξ(x)

F_ξη(+∞, y)= F_η(y) аналогично

3. F_ξη(x, -∞)= F_ξη(-∞, у)= F_ξη(-∞, -∞)=0. Вытекает из невозможности событий.

F_ξη(+∞, +∞)=1. Вытекает из достоверности событий.

4. F_ξη(x, y) есть монотонно неубывающая ф-ция по каждому аргументу.

Д-во: Событие, состоящее в том, что составляющая ξ примет значение, меньшее х₂, и при этом составляющая η<y, можно подразделить на два несовмест.события: 1) ξ примет значение, меньшее х₁, и при этом η<y с вер-тью Р(ξ<x₁, η<у); 2) ξ примет значение, удовлетворяющее нер-ву х₁£ξ<х₂, и при этом η<y с вер-тью Р(х₁£ξ<х₂, η<y). По теореме сложения, Р(ξ<x₂, η<у)= Р(ξ<x₁, η<у)+ Р(х₁£ξ<х₂, η<y). Отсюда Р(ξ<x₂, η<у) – Р(ξ<x₁, η<у) = Р(х₁£ξ<х₂, η<y) или F_ξη(x₂, y) - F_ξη(x₁, y)= Р(х₁£ξ<х₂, η<y). Любая вер-ть есть число неотриц., поэтому F_ξη(x₂, y) - F_ξη(x₁, y)³0, или F_ξη(x₂, y)³F_ξη(x₁, y) ч.т.д. Аналогично доказывается, что F_ξη(x, y) неубывающая по аргументу у.

5. Если двумерн.ф-ция распред. F_ξη(x, y) непрерывна по х и по у, то вер-ть попадания случ.вел-ны (ξ, η) в прямоугольную область D={х₁ £ x £ х₂, y₁ £ y £y₂} равна Р(х₁£ξ£х₂, у₁£ η £у₂) = F(x₁, y₁)+F(x₂, y₂) – F(x₁, y₂) – F(x₂, y₁).

 

(5.) Законом распред.дискретной двумерной сл.вел-ны нзв перечень возможных значений этой вел-ны, т.е пар чисел (x_i, y_j) и их вероятностей р(x_i, y_j) (i=1, 2,…,n; j=1, 2,…, m). Обычно закон распределения задают в виде матрицы. Матрица распред.предст.соб.таблицу, к-рая содержит значения {x₁, x₂,…, x_n}, {y₁, y₂,…, y_n} и вероятности возможных пар значений P_ij=P(ξ=x_i; η=y_j) (i=1, 2,…,n; j=1, 2,…, m).

	y1	y2	…	ym
x1	P11	P12	…	P1m
x2	P21	P22	…	P2m
…	…	…	…	…
xn	Pn1	Pn2	…	Pnm

Св-ва:

1)

2) ,

3) ,

(6.) Двумер.сл.вел-на (ξ, η) является непрерывной, если ее ф-ция распред.предст.соб. непрерывную дифференцированную ф-цию по каждому из аргументов и существует 2-ая смешанная производная. Пространством ее элементарных событий является плоскость, либо область плоскости, либо область конечной ненулевой плоскости.

(7.) Двумерной плотностью ф-ции распред. f_ξη(x, y) случ.вел-ны (ξ, η) нзв предел отношения вер-ти попадания случ.точки в элементарный участок плотности, примыкающий к точке (х, у), к площади этого участка, когда его размер стремится к 0.

Т.о. плотностью совместного распределения вер-тей двумерной непрерывной сл.вел-ны нзв вторую смешанную частную производную от ф-ции распред. Геометрически эту ф-цию можно истолковать как поверхность, к-рую нзв поверхностью распределения.

D={х₁£ ξ £х₂, у₁£ η £у₂}

Свойства двумерной плотности распределения:

1)

2) Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен 1.

3)

4)

(8.) Величина ξ независима от величины η,если её закон распределения не зависит от того, какое значение принимает величина η.

Теорема. Для того, чтобы случ.вел-ны ξ и h были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ф-ция распред.системы (ξ, η) была равна произведению ф-ций распределения составляющих

Следствие. Для того, чтобы непрерывные случайные величины ξ и h были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совмест.распред.системы (ξ, η) была равна произведению плотностей распред.составляющих:

(9.) Критерии независимости:

1) для всех х,у

2) Непрерывность

3) Дискретность

для всех х, у

Если хотя бы один из критериев не выполняется в любой одной точке, то величины ξ и η зависимы.

 

Условные распределения двумерной случайной величины. Функция распределения и её свойства. Условная плотность распределения и её свойства. Условные числовые характеристики. Корреляционные зависимости. Нормальный закон распределения двумерной случайной величины.

Случайные величины: ξ x_i i=1÷n; η y_j j=1÷m.

Условной функцией распределения случайной величины ξ, при условии, что случайная величина η приняла значение y_i называется условная вероятность.

Свойства условной ф-ции распределения:

1) Fξ(x|y) – определена для всех х

2) Fξ(x|y) Î [0,1] для всех х Î R

3) Fξ(-∞|y)=0

4) Fξ(+∞|y)=1

5) Сумма вероятностей распределения равна 1.

Имеем y_i:

Имеем x_i:

Используют для контрольного вычисления.

Условная плотность распределения и её свойства

Условной плотностью распределения f_ξ(x/y) непрерывной случайной величины ξ при фиксированном значении η=у называется отношение плтности совместного распределения f_ξη(x/y) случайной величины (ξ,η) к плотности распределения случайной величины ξ.

Свойства:

1) f_ξ(x/y)≥0

2)

f_ξ(x/y) – непрерывная функция

3)

4) ξ и η – независимы

5)

Условные числовые характеристики

Условным мат ожиданием случайной величины ξ называют её мат ожидание, вычисленное при условии, что случайная величина η приняла значение у.

Условное мат ожидание M[ξ|y] случайной величины ξ как функция параметра у называется регрессией ξ на у

Смешанный начальный момента порядка K+S равен мат ожиданию

Смешанные центральный момент K+S равен мат ожиданию произведения центрированных величин

Следствия:

Корреляционные зависимости

Корреляционным моментом (k_ξη) случайных величин ξ и η называют мат ожидание произведения отклонения этих величин от их мат ожидания:

Характеризует степень тесноты линейных величин ξ и η и их рассеивание их значений относительно точки

Свойства:

1) k_ξη = k_ηξ

2) Корреляционный момент двух независимых случайных величин ξ и η равен 0.

3)Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин ξ и η не превышает среднего геометрического их дисперсий:

 

Если k_ξη<0, то между ξ и η существует отрицательная корреляционная зависимость(если одно значение растет, то другое значение уменьшается).

Если k_ξη >0, то между ξ и η существует положительная корреляционная зависимость(если одно значение растет, то и другое значение растет).

 

Коэффициент корреляции (r_ξη) случайных величин ξ и η называется отношение корреляционного момента к произведению среднего квадратических отклонений этих величин:

-1≤ r_ξη ≤1

Две случайные величины ξ и η называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля.

Соответственно, ξ и η называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

 

r_ξη=1; ξ и η; η=аξ+b

 

Нормальный закон распределения двумерной случайной величины

Непрерывная двумерная случайная величина (ξ,η) имеет нормальное распределение, если её плотность вероятности равна:

Параметрами нормального закона распределения являются:

Если случайные величины распределены нормально, но они некоррелированны, то r_ξη=0, и получим:

Таким образом, если составляющие нормального распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих.

 

16. Многомерные случайные величины.Основные характеристики (Ф-я распределения, плотность распр-я, понятие независимости). Основные числовые характеристики (мат.ожидание, дисперсия, корреляционная матрица, коэф-т корреляции, нормированная корреляционная матрица).

Опр. Совокупность произвольного числа n одномерных случ. вел-н , кот. принимают значения одного и того же опыта наз. n-мерной случ. величиной: .

Опр. Ф-я распределения n-мерной случ. величины наз. вероятность выполнения n-неравенств вида:

Опр. Плотность распред-я n-мерной случ. величины наз. смешанная частная производная функции распределения F(х₁,х₂,…,х_n), взятая один раз по каждому аргументу. .

Св-ва плотности рапр-я:

1. f(x₁,x₂,…,x_n)³ 0

2.

3. Плотности распределения меньшего порядка могут быть получены путем интегрирования n-мерной плотности распр-я по ненужным переменным.

4. Вер-ть попадания многомер.случ.величины в n-мерную область D=n-кратному интегралу по этой области.

Опр. Случайные величины наз. независимыми, если закон распред. каждой частной системы, выделенной из системы не зависит от того, какие значения приняли остальные величины.

f(x₁,x₂,…,x_n)=f₁(x₁)f₂(x₂)…f_n(x_n)

 

Основные числовые характеристики.

1. Вектор мат. ожидания.

M=(m₁,m₂,…,m_n)

2. Вектор дисперсии.

D=(D₁,D₂,…,D_n)

3. Корреляционная матрица.

где k_ij=k_ji - т.е. матрица симметрична.

Замечание: случ. величины – будут некоррелированные,если их недиагональные элементы корреляц-ой матрицы=0.

4. Коэф-т корреляции.

5. Корреляционная нормированная матрица

R_ij=R_ji

Случ. величины - независимы, если , где F – ф-ция распред.случ величины.

! Если случ. величины независимы, то они некоррелируемы, НО обратное утверждение НЕВЕРНО!

 

Коэффициентом корреляции (r_ξη) случ вел ξ и η наз.отношение корреляц.момента к произведению среднеквадратич.отклонений этих величин

-1≤ r_ξη ≤1

 

Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность. Повторная и бесповторная выборка. Репрезентативность выборки. Теоретическая ФР. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма, полигон относительных частот. Статистические оценки параметров распределения (выборочная, средняя, групповая и общая средняя, выборочная дисперсия). Формула для вычисления дисперсии.

Статистика разрабатывает методы сбора данных и группировки по умолчанию. Задачи мат стат.: 1) указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез-те наблюдения за случ. процессами; 2) разработка методов анализа стат. данных в зависимости от цели исследования.

Генеральная и выборочная совокупность:

Генеральной совокупностью опыта наз. множ-во объектов, из к-ых производится выборка. Выборочной совокупностью или просто выборкой наз. совокупность случайно отобранных объектов.

{х₁, х₂, …, х_n} n-объём выборки

Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) наз. число объектов этой совокупности.

Повторная и бесповторная выборка. Репрезентативность выборки. Теоретическая ФР.

Повторной наз.выборку, при к-ой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной наз.выборку, при к-ой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Выборка будет репрезентативной, если её осуществлять случайно, то есть каждый из объектов генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

k-кол-во выборок, которые можно сделать

n-объём выборки

x:

…………………

Пусть x®F_ξ(x) – функция распределения, тогда каждую из следующих выборок:

, …..

можно рассмотреть как реализацию n-мерной случайной величины (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n) Для всех ξ_i закон распределения единственный. Все компоненты (ξ_i) – независимы.

Тогда F(х₁,х₂,…,х_n)=F(x₁)F(x₂)…F(x_n)

Вариационным рядом наз.выборка полученная в рез-те расположения значений исходной выборки в порядке возрастания.

наз. вариантами.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности наз. теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том,что теоретическая функция F(x) определяет вер-сть события X<x, а эмпирическая функция F^*(x)=n_x/n определяет относительную частоту этого же события.

Статистическое распределение выборки:

x₁ – наблюдается n₁ раз

x₂ – n₂

x_k – n_k

xi	x1	x2	……	xk
P^*i	n1	n2	……	nk

 

n_i - частота

-относительная частота

Замечание: В теории вероятности под распределениями понимают соответствие между возможными значениями случ.величины и их вер-тями. А в мат.статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами.

Эмпирическая функция распределения:

n_x-число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака варианты меньше, чем х

n-общее число наблюдений (объём выборки)

x<x

-частота события, когда x<x

Эмперической функцией распределения случ.величины x наз.функцию F*_ξ(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту событий:

Недостатки:

Невысокая наглядность (визуально сложно определить закон распределения сл.величины x)

Гистограмма и полигон относит.частот:

Полигоном частот наз.ломаную, отрезки к-ой соединяют x_i и n_i.

Площадь гистограммы частот =сумме всех частот, то есть объёму выборки.